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最值系列之瓜豆原理
在輔助圓問題中，我們瞭解瞭求關於動點最值問題的方式之一——求出動點軌跡，即可求出關於動點的最值．
本文繼續討論另一類動點引發的最值問題，在此類題目中，題目或許先描述的是動點P，但最終問題問的可以是另一點Q，當然P、Q之間存在某種聯系，從P點出發探討Q點運動軌跡並求出最值，為常規思路．
一、軌跡之圓篇
引例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．
考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？
【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什麼關系？
考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【小結】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，
由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，
由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．
Q點軌跡相當於是P點軌跡成比例縮放．
根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；
根據動點之間的數量關系分析軌跡圓半徑數量關系．
引例2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？
【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓．接下來確定圓心與半徑．
考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；
考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．
即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．
引例3：如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？
【分析】考慮AP⊥AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；
考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1．
即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．
【模型總結】
為瞭便於區分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．
此類問題的必要條件：兩個定量
主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；
主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．
【結論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等於兩圓心與定點連線的夾角：
∠PAQ=∠OAM；
（2）主、從動點與定點的距離之比等於兩圓心到定點的距離之比：
AP:AQ=AO:AM，也等於兩圓半徑之比．
按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關系相當於旋轉+伸縮．
古人雲：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．
【思考1】：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為一邊作等邊△APQ．
考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？
【分析】
Q點滿足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q點軌跡是個圓：
考慮∠PAQ=60°，可得Q點軌跡圓圓心M滿足∠MAO=60°；
考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．
即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．
【小結】可以理解AQ由AP旋轉得來，故圓M亦由圓O旋轉得來，旋轉角度與縮放比例均等於AP與AQ的位置和數量關系．
【思考2】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ．
考慮：當點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌跡？
【分析】Q點滿足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ= sqrt{2} ：1，故Q點軌跡是個圓．
連接AO，構造∠OAM=45°且AO:AM= sqrt{2} ：1．M點即為Q點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有△AOP∽△AMQ．即可確定點Q的軌跡圓．
【練習】如圖，點P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．
【分析】M點為主動點，C點為從動點，B點為定點．考慮C是BM中點，可知C點軌跡：取BP中點O，以O為圓心，OC為半徑作圓，即為點C軌跡．
當A、C、O三點共線且點C在線段OA上時，AC取到最小值，根據B、P坐標求O，利用兩點間距離公式求得OA，再減去OC即可．
【2016武漢中考】如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC= 2sqrt{2} ，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．
【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點，可確定M點軌跡：
取AB中點O，連接CO取CO中點D，以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、BC於E、F兩點，則弧EF即為M點軌跡．
當然，若能理解M點與P點軌跡關系，可直接得到M點的軌跡長為P點軌跡長一半，即可解決問題．
【2018南通中考】如圖，正方形ABCD中，AB= 2sqrt{5} ，O是BC邊的中點，點E是正方形內一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．
【分析】E是主動點，F是從動點，D是定點，E點滿足EO=2，故E點軌跡是以O為圓心，2為半徑的圓．
考慮DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓．
直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時OF最小．可構造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．
【練習】△ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交於點O，則線段AO的最大值為_____________．
【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB，將AC看成動線段，由此引發正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值．
根據AC=2，可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓．
接下來題目求AO的最大值，所以確定O點軌跡即可，觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以O點軌跡也是圓，以AB為斜邊構造等腰直角三角形，直角頂點M即為點O軌跡圓圓心．
連接AM並延長與圓M交點即為所求的點O，此時AO最大，根據AB先求AM，再根據BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO．
此題方法也不止這一種，比如可以如下構造旋轉，當A、C、A’共線時，可得AO最大值．
或者直接利用托勒密定理可得最大值．
二、軌跡之線段篇
引例：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？
【分析】當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．
可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．
【引例】如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？
【分析】當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形．
當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段．
【模型總結】
必要條件：
主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；
主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．
結論：
P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等於∠PAQ（當∠PAQ≤90°時，∠PAQ等於MN與BC夾角）
P、Q兩點軌跡長度之比等於AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）
【2017姑蘇區二模】如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發沿EA方向運動，連結PD，以PD為邊，在PD的右側按如圖所示的方式作等邊△DPF，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是________．
【分析】根據△DPF是等邊三角形，所以可知F點運動路徑長與P點相同，P從E點運動到A點路徑長為8，故此題答案為8．
【2013湖州中考】如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為2 sqrt{3} 的一個定點，AC⊥x軸於點M，交直線y=-x於點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．
【分析】根據∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB= sqrt{3}：1 ，故B點軌跡也是線段，且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之比也為 sqrt{3}:1 ，P點軌跡長ON為 2sqrt{6} ，故B點軌跡長為 2sqrt{2}
．
【練習】如圖，在平面直角坐標系中，A（-3,0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．
【分析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據△ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線．
取兩特殊時刻：（1）當點B與點O重合時，作出P點位置P1；（2）當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2．連接P1P2，即為P點軌跡．
根據∠ABP=60°可知：與y軸夾角為60°，作OP⊥ P_{1}P_{2} ，所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3，所以OP= frac{3}{2}
．
【2019宿遷中考】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為 ．
【分析】同樣是作等邊三角形，區別於上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：
考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在 G_{1} 位置
三、軌跡之其他圖形篇
所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是．
