時間序列分析（四）：ARMA模型

1.ARMA過程

X_t=phi_1X_{t-1}+phi_2X_{t-2}+cdots+phi_pX_{t-p} +epsilon_t+theta_1epsilon_{t-1}+theta_2epsilon_{t-2}+cdots+theta_qepsilon_q , t=0,pm1,pm2,cdots , 其中 {epsilon_t:t=0,pm1,pm2,cdots} 為白噪聲，且 Var(epsilon_t)=sigma^2 。

2.過程平穩性、可逆性的判定

過程是平穩的當且僅當方程 1-phi_1x-phi_2 x^2-cdots-phi_px^p=0 解的模大於1.

過程是可逆的當且僅當方程 1+theta_1x+theta_2 x^2+cdots+theta_px^q=0 解的模大於1.

3.模型階的識別

若時間序列是平穩的，則有三種方法來確定階數的問題。

（1）第一種方法: acf圖和pacf圖

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AR(p) MA(q) ARMA(p,q)

acf 圖 拖尾 q階截尾 前q個無規律，其後拖尾

pacf圖 p階截尾 拖尾 前p個無規律，其後拖尾

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該方法為識別AR模型和MA模型提供瞭有效的工具，但對於ARMA模型來說，仍然非常困難。

（2）第二種方法: eacf圖

Tsay和Tiao（1984年）提出瞭利用推廣的自相關系數（eacf）來確定ARMA過程的階數。eacf的推導比較復雜。這裡根據R讓軟件說明eacf表如何確定ARMA過程的階數。該表的行對應的是AR的階，列對應的是MA的階。該表的主要特征是：包含由“0”組成的三角形，並且這個三角形左上角頂點位於階（p,q）處，使用這樣的特征來識別ARMA過程的階。

• 對白噪聲求eacf表