這是線性代數知識的補充筆記（notes），沒有什麼順序隻是填坑。這一篇主要介紹酉空間的相關知識。
這一節看瞭兩遍才勉強腦子裡面有點概念（我太笨瞭sigh）。這次其實很早就寫完瞭大部分內容，拖瞭好久才更主要是因為懶QAQ…..
一、內積
回憶我們曾經在 R 上的線性空間 V 中定義瞭內積（Inner product），稱二元函數 leftlangle cdot ,cdot rightrangle 是 V 上的一個內積，如果二元函數 leftlangle cdot ,cdot rightranglerightarrow R 滿足下面三條性質：
（1）對稱性： leftlangle pmb{a},pmb{b} rightrangle=leftlangle pmb{b},pmb{a} rightrangle ，其中 pmb{a},pmb{b}in V .
（2）雙線性性： leftlangle k_1pmb{a}_1+k_2pmb{a}_2,pmb{b} rightrangle=k_1leftlangle pmb{a}_1,pmb{b} rightrangle+k_2leftlangle pmb{a}_2,pmb{b} rightrangle ，
leftlangle pmb{a},k_1pmb{b}_1+k_2pmb{b}_2 rightrangle=k_1leftlangle pmb{a},pmb{b}_1 rightrangle+k_2leftlangle pmb{a},pmb{b}_2 rightrangle ，
其中 pmb{a},pmb{b},pmb{a}_1,pmb{b}_1,pmb{a}_2,pmb{b}_2in V,k_1,k_2in R .
（3）正定性： leftlangle pmb{a},pmb a rightrangle geqslant 0 對 forallpmb ain V 成立，且等號成立的充要條件為 pmb a =pmb0 .
在 V 上定義完內積之後，稱具有內積的線性空間 V 是一個實內積空間（real Inner product space）或者歐幾裡得空間（Euclidean space），有時候也簡稱為歐氏空間.
自然地，我們考慮能不能在復數域 C 上定義內積.我們希望能夠和 R 上定義的內積具有相同的性質，但是不難驗證這是不可能的，因為假如滿足瞭雙線性性，那麼 leftlangle ipmb{a},ipmb {a} rightrangle=i^2leftlangle pmb{a},pmb a rightrangle =-leftlangle pmb{a},pmb a rightrangle leqslant 0 ，這是不滿足正定性的.考慮對上面的定義做出修改，我們在 C 上定義內積如下：
如果 V 上的一個二元函數 leftlangle cdot ,cdot rightranglerightarrow C 滿足
（1）共軛對稱性： leftlangle pmb{a},pmb{b} rightrangle=overline{leftlangle pmb{b},pmb{a} rightrangle} ，其中 pmb{a},pmb{b}in V .
（2）線性性、共軛雙線性性： leftlangle k_1pmb{a}_1+k_2pmb{a}_2,pmb{b} rightrangle=k_1leftlangle pmb{a}_1,pmb{b} rightrangle+k_2leftlangle pmb{a}_2,pmb{b} rightrangle ，
leftlangle pmb{a},k_1pmb{b}_1+k_2pmb{b}_2 rightrangle=overline{k_1}leftlangle pmb{a},pmb{b}_1 rightrangle+overline{k_2}leftlangle pmb{a},pmb{b}_2 rightrangle ，
其中 pmb{a},pmb{b},pmb{a}_1,pmb{b}_1,pmb{a}_2,pmb{b}_2in V,k_1,k_2in C .
（3）正定性： leftlangle pmb{a},pmb a rightrangle geqslant 0 對 forallpmb ain V 成立，且等號成立的充要條件為 pmb a =pmb0 .
那麼稱二元函數 leftlangle cdot ,cdot rightranglerightarrow C 是 V 上的內積，稱具有內積的線性空間 V 為一個復內積空間（Complex Inner product space）或者酉空間（unitary space）.
例1：空間 C ^n 關於內積 leftlangle pmb{a},pmb{b} rightrangle=overline{pmb{b}}^Tpmb a 構成歐氏空間；空間 C ^n 關於二元函數 leftlangle pmb{a},pmb{b} rightrangle=overline{pmb{b}}^TDpmb a 構成歐式空間，其中 D 為對角線元素全為正的對角矩陣.
例2：區間 [a,b] 上的復值函數構成的線性空間中，定義內積： leftlangle f,g rightrangle =int_{a}^{b}f(x)overline {g(x)}dx ，其中對復值函數的積分定義為分成實部和虛部積分，即如果 f(x)=f_1(x)+if_2(x) ，其中 f_1(x) 與 f_2(x) 都為實值函數，那麼 int_{a}^{b}f(x)=int_{a}^{b}f_1(x)+iint_{a}^{b}f_2(x) .
註：以後記 pmb{a}^H=overline{pmb {a}}^T ， A^H=overline{ A}^T
二、酉變換、自伴變換、正規變換及其性質
定義2.1（共軛映射）：設 V 是酉空間，若對 forall x,yin V ，滿足 leftlangle f(x) ,y rightrangle=leftlangle x ,g(y) rightrangle ，則稱 g 是 f 的共軛映射（Conjugate map），記為 g=f^* .
比較好理解的是，假如 f 對應的矩陣是 F ，那麼 f^* 對應的矩陣是 F^H （同基）.
下面給出酉空間上的三個線性變換的定義：
定義2.2.1（自伴變換）: 設 V 是酉空間，對 forall x,yin V ，若 f 滿足 leftlangle f(x) ,y rightrangle=leftlangle x ,f(y) rightrangle ，則稱 f 是 V 上的一個自伴變換（Self-adjoint transformation）（ Leftrightarrow f=f^* ）.
有時候也稱自伴變換為Hermite變換.
定義2.2.2（酉變換）：設 V 是酉空間，對 forall x,yin V ，若 f 滿足 leftlangle f(x) ,f(y) rightrangle=leftlangle x ,y rightrangle ，那麼稱 f 為酉變換（Unitary transformation）.（ Leftrightarrow f^*f=ff^*=id v ）
酉變換可以類比於歐氏空間中的正交變換。
定義2.2.3（正規變換）：設 V 是酉空間，如果 V 上的線性變換 f 滿足 f^*f=ff^* ，那麼稱 f 為正規變換（Normal transformation）.
顯然酉變換屬於正規變換。
在線性代數課上，我們知道可以用矩陣來描述線性映射，下面就給出上面三個線性映射的矩陣表示。
定義2.3.1（Hermite矩陣）：滿足 A^H=A 的矩陣被稱為Hermite矩陣.（對應自伴變換）
定義2.3.2（酉矩陣）：滿足 A^HA=AA^H=I_n 的矩陣被稱為酉矩陣.（對應酉變換）
定義2.3.3（正規矩陣）：滿足 A^HA=AA^H 的矩陣被稱為正規矩陣.（對應正規變換）
下面介紹以上提及的變換的性質.
首先給出共軛變換的5條性質：
1. idv^*=idv .
2. (A^*)^*=A .
3. (lambda A)^*=overlinelambda A .
4. (Apm B)^*=A^*pm B^* .
5. (AB)^*=B^*A^* .
這裡隻證明一下性質5.
證明5：
leftlangle AB(alpha) ,beta rightrangle=leftlangle B(alpha) ,A^*(beta) rightrangle=leftlangle alpha , B^*A^*(beta) rightrangle . 故 (AB)^*=B^*A^* .Box
酉變換的性質：（下面記 U 為酉空間 V 上的一個酉變換）
1. forall alpha in V,|Ualpha|=|alpha| .（類似於歐氏空間中正交變換的性質）
2. U 將標準正交基變為標準正交基.（類似於歐氏空間中正交變換的性質）
3.記 U(n) 為 n 維酉空間 V 內全體酉變換的集合，那麼有：
（1） I_nin U(n) .
（2）若 U_1 、 U_2 in U(n) ，那麼 U_1U_2in U(n) .
（3）若 Uin U(n) ，則 U 可逆，且 U^{-1}in U(n) .
下面證明3中的（2）、（3）
證明性質3（2）：
取 forall x,yin V ， 有leftlangle U_1(U_2(x)) ,U_1(U_2(y)) rightrangle=leftlangle U_2(x) ,U_2(y) rightrangle=leftlangle x ,yrightrangle ，故 U_1U_2in U(n) . Box
證明性質3（3）：
取 forall x,yin V ，有leftlangle U(x) ,y rightrangle=leftlangle x ,U^H(y) rightrangle ，
則 leftlangle U(x) ,UU^H(y) rightrangle=leftlangle x ,U^H(y) rightrangle=leftlangle U(x) ,y rightrangle .
Rightarrow UU^H(y)=y
Rightarrow UU^H=idv .故 U 可逆， U^{-1}in U(n) . Box
正規變換的性質：
1.若 lambda 為 A 的特征值， xi 為對應的特征向量，則 xi 為 A^H 的屬於 特征值 overline lambda 的特征向量.
2.若 A 為正規變換，則 A 屬於不同特征值的特征向量兩兩正交.
證明1：根據 Axi =lambda xi 可以得到 (A-lambda I_n)xi=0 .
考察下面的內積： leftlangle (A^H-overline lambda I_n )xi ,(A^H-overline lambda I_n)xi rightrangle
=leftlangle xi ,(A^H-overline lambda I_n)^H(A^H-overline lambda I_n)xi rightrangle
=leftlangle xi ,(A^H-overline lambda I_n)(A- lambda I_n)xi rightrangle
=leftlangle xi ,0 rightrangle=0 .
根據內積的正定性，故 (A^H-overline lambda I_n )xi=0 .進而 A^Hxi =overline lambda xi . Box
證明2：取 A 的兩個不同特征值 lambda _1nelambda _2 ，使得 Axi_1=lambda _1xi_1 ， Axi_2=lambda_2xi_2 .
那麼 lambda_1leftlangle xi_1 ,xi_2 rightrangle=leftlangle lambda_1xi_1 ,xi_2 rightrangle=leftlangle Axi_1 ,xi_2 rightrangle=leftlangle xi_1 ,A^Hxi_2 rightrangle .
根據性質1，結合 Axi_2=lambda_2xi_2 ，我們知道 A^Hxi_2=overlinelambda_2xi_2 .
因此 leftlangle xi_1 ,A^Hxi_2 rightrangle=leftlangle xi_1 ,overlinelambda_2xi_2 rightrangle=overlinelambda_2leftlangle xi_1 ,xi_2 rightrangle .
綜上我們推出 lambda_1leftlangle xi_1 ,xi_2 rightrangle=lambda_2leftlangle xi_1 ,xi_2 rightrangle .
根據 lambda _1nelambda _2 ，得到 leftlangle xi_1 ,xi_2 rightrangle=0 . Box
Hermite變換性質（這裡隻提一點）：
Hermite變換的特征值都是實數.
證明比較簡單，直接驗證即可：
overline lambda xi=A^Hxi=Axi=lambdaxi . Box
