導語
本文介紹瞭現代控制理論的主要概念。主要內容來自 Kemin Zhou, John C. Doyle – Essentials of Robust Control (1997) 第三章。
國內講的“現代控制理論”的主要內容是“多輸入多輸出（Multi-input Multi-output, MIMO）的線性控制理論”。自動控制原理屬於經典控制理論，基於傳遞函數來分析單輸入、單輸出（Single-input Single-output, SISO）系統；而現代控制理論在此基礎上擴展為，用狀態空間方程（state space equation）分析多輸入、輸出的關系。也許因為這種分析方法更有普適性，更“高級”，所以被冠以瞭“現代”的名號。
本文主要以介紹概念和結論為主，屬於我學習完現代控制理論的匯總筆記，隻在關鍵部分添加瞭個人理解，方便檢索概念和“套用”設計，所以標題叫“速成/不求甚解版”。要想真正掌握現代控制理論，還需要理解概念、理論和公式背後的數學含義以及物理含義。本文由於缺少從例子到理論的過渡，因此更適合有一定基礎的同學，缺失的細節與過渡部分，後面有機會再把這部分內容補上。
最後，推薦講解現代控制理論一篇知乎文章和一個B站系列視頻，絕對精品。
目錄
- 分析對象與系統方程
- 系統的“五性”：穩定性、可控性、可穩定性、可觀性、可檢測性
- 狀態反饋穩定控制
- 基於觀測器的狀態反饋穩定控制
- 總結
一. 分析對象與系統方程
現代控制理論的分析對象是有限維線性時不變動態系統（a finite dimensional linear time invariant (FDLTI) dynamical system）。線性時不變(LTI)系統在自控系列文章中提到過，具備齊次性、線性和時不變特性，這裡在LTI基礎上增加“有限維”做定語。
明確對象後，用線性常微分方程（linear constant coefficient differential equations）來刻畫系統。
dot{x} = Ax+Bu, x(t_{0})=x_{0} \y = Cx + Du
式中x表示狀態變量，u表示系統輸入，y表示系統輸出。“時不變”在方程中的體現就是A、B、C、D是常數矩陣，不隨時間變化。上式也叫狀態空間方程（state space equation），因為它刻畫瞭系統狀態隨輸入的演變情況。
狀態空間方程是一階方程組，對於實際的高階系統，可以通過設置中間變量將其寫成一階形式，因此上述方程可以刻畫高階系統。另外，狀態空間方程也能寫成傳遞函數的形式。將狀態空間方程進行拉普拉斯逆變換，第一行變換後可以用x表示u，代入第二行，就能得到 Y(s)/U(s)，即傳遞函數G(s)，此處X, Y都是矩陣形式。
Y(s) = G(s)U(s)\G(s)=C(sI-A)^{-1}+D
二. 五性
1. 穩定性：Stability
對於零輸入系統， dot{x} = Ax ，穩定性的 判據是：A的特征值的實部都在復平面左半平面。
可以借助傳遞函數理解： G(s)=C(sI-A)^{-1}+D ，其中 (sI-A)^{-1} = frac{adj(sI-A)}{|sI-A|} ，分母部分恰好是求A的特征值的公式，也剛好對應瞭傳遞函數的極點，因此可以用來判斷穩定性。極點在復平面左半平面含義在自控判斷穩定性文章中有詳細講解，這裡不贅述。
2. 可控性：controllability
可控性的判據是可控性矩陣 C = [Bquad ABquad A^{2}Bquad ……quad A^{n-1}B] 滿秩，對應的Matlab語句是：
