數學選讀01:矩陣的主子式與順序主子式

前情回顧

引言

本文討論一個關於二次型或對稱矩陣的正定性的檢驗。

定義1:主子矩陣與主子式

A 是一個 n × n 矩陣。 Ak×k 子矩陣通過刪除 n-k 列、刪除 n-k 行( i_1,i_2,…, i_{n-k} )形成,這樣的子矩陣稱為 Ak 階主子矩陣。 k×k 主子矩陣的行列式稱為 Ak 階主子式。

例1:三階矩陣

給定一個3×3矩陣:

有一個三階主子式: det(A)

有三個二階主子式:

(1) begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{vmatrix} ,從A中刪除第3列和第3行得到;

(2) begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \ a_{31} & a_{33} end{vmatrix} ,從A中刪除第2列和第2行得到;

(3) begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} end{vmatrix} ,從A中刪除第1列和第1行得到。

有三個一階主子式: |a_{11}||a_{22}||a_{33}|

在給定矩陣的 k 階主子式中,有一個需要強調的特殊矩陣:

定義2:順序主子矩陣與順序主子式

A 是一個 n × n 矩陣。從 A 中刪除最後 n-k 行和最後 n-k 列得到的 Ak 階主子矩陣稱為 Ak 階順序主子矩陣,記為A_k。其行列式稱為 Ak 階順序主子式,記為 |A_k|

n × n 矩陣有 n 個順序主子矩陣,最左上角的1 × 1子矩陣、2 × 2子矩陣等等。對於例1中的一般3 × 3矩陣,三個順序主子矩陣為:

下面的定理提供瞭一個簡單的算法,用順序主子矩陣來確定給定矩陣的確定性。

定理1:正定性檢驗

A 是一個 n × n 對稱矩陣。則:

(a) A 是正定矩陣,當且僅當 An 個順序主子式(嚴格)為正。

(b) A 是負定矩陣,當且僅當 An 個順序主子式以如下方式交替出現:

k 階順序主子式的符號應該與 (-1)^k 相同。

(c)如果 A 的某個 k 階順序主子式非零,但不符合上述兩個符號模式中的任何一個,則 A 是不定的。當 A 對偶數 k 有一個負 k 階的順序主子式,或者當 A 對兩個不同的奇數 kell 有一個負 k 階的順序主子式和一個正 ell 階的順序主子式時,就會發生這種情況。

對於給定對稱矩陣 A ,定理1的順序主子式檢驗可能失敗。一種原因是, A 的一些順序主子式為零,而非零的其他順序主子式則符合定理1中(a)或(b)的符號模式。當這種情況發生時,矩陣A是不定的,它可能是半定,也可能不是半定。在這種情況下,為瞭檢查半定性,不再隻檢查 An 個順序主子式,而是必須檢查 A 的每個主子式的符號,使用下面的定理描述的檢驗。

定理2:半定性檢驗

A 是一個 n × n 對稱矩陣。則:

  • A 是正半定的,當且僅當 A 的每一個主子式都大於等於0
  • A 是負半定的,當且僅當 A 的每一個奇階的主子式小於等於0,每一個偶階的主子式大於等於0

例2:四階矩陣

給定 A 為一個4×4矩陣:

(a)若 |A_i| >0 對於 i=1,2,3,4 均成立,則 A 為正定矩陣,反之亦然。

(b)若 |A_i| <0 對於 i=1,3 均成立, |A_j| >0 對於 j=2,4 均成立,則 A 為負定矩陣,反之亦然。

(c)若 |A_i| >0 對於 i=1,2 均成立, |A_3| = 0|A_4| < 0 ,則 A 為不定矩陣(因 A_4 )。

(d)若 |A_i| <0 對於 i=1,2,3,4 均成立,則 A 為不定矩陣(因 A_2,A_4 )。

(e)若 |A_i| =0 對於 i=1,4 均成立, |A_2| < 0|A_4| = 0 ,則 A 為不定矩陣(因 A_2 )。

(f)若 |A_i| >0 對於 i=1,3,4 均成立, |A_2| = 0,則 A 不是正定矩陣。不會是負半定,但是可能是正半定。為瞭檢驗正半定性,需要檢驗 A 所有的15個主子式,不僅僅是檢驗4個順序主子式。如果所有的主子式均非負,則 A 為正半定。但如果存在一個主子式負,則 A 為不定矩陣。

(g)若 |A_i| =0 對於 i=1,3 均成立, |A_j| >0 對於 j=2,4 均成立,則 A 不是正定矩陣。可能是正半定,也可能是負半定。為瞭確認這一點,必須檢驗 A 所有的15個主子式。

單詞表

  • 主子式:principal minor
  • 二次型:quadratic form
  • 正定性:definiteness
  • 主子矩陣:principal submatrix
  • 順序主子矩陣:leading principal submatrix
  • 順序主子式:leading principal minor
  • 對稱矩陣:symmetric matrix
  • 正定:positive definite
  • 負定:negative definite
  • 不定:indefinite
  • 半定:semidefinite
  • 半定性:semidefiniteness

參考文獻

  1. C.P. Simon, L.E. Blume (1994) Mathematics for Economists, W.W. Norton & Company Press, Cambridge. P381-383.

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(完)

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