概率密度到底是個什麼東西

概率密度:

若存在非負可積函數 f(x), 使隨機變量X取值於任一區間 (a, b] 的概率可表示成

圖1

則稱 X為連續型隨機變量, f(x)為 X 的概率密度函數,簡稱概率密度或密度。

f(x)的進一步理解:

圖2

X的概率密度函數f(x)在 x 這一點的值, 恰好是X 落在區間 [x , x +△x]上的概率與區間長度△x 之比的極限。

如果把概率理解為質量,f (x)相當於物理學中的線密度。

圖3圖4

從以上分析可以得出結論:

1:概率密度是概率的變化率;

2:概率密度在一個時間段中的積分就可以得出概率。

那麼,現實中能不能找到一個具體例子用來理解概率密度這個概念呢?

以打靶為例:

從圖4可以看出,分佈函數是一個概率,那麼,概率密度到底是什麼呢?

我們假設,現在有很多人對著同一塊靶進行設計,每過一段時間統計射中瞭多少次,那麼,這個隨著時間變化的射中的次數就是分佈函數F(x);為瞭與概率密度函數f(x)相對應,我們假設每個時刻進行射擊的人數是隨著時間的變化而變化的,從而每個時刻擊中靶的次數也是變化的,那麼,這個次數就應該相當於概率密度函數f(x)。由此可以看出,一段時間內,總的射中的次數,也就是概率F(x),是和這段時間內每個時刻的射中次數,也就是概率密度函數f(x)有關的。

上面的例子還說明,F(x)本來是用來表示概率的,是一種不確定性事件,但在這個例子裡面,它卻具有瞭某種確定性的性質:它會隨著時間的增加而增加(對f(t)積分)。比如,經過一段時間以後,F(x)=0.8,那就表示隨著一段時間內不同的人數進行射擊以後,假設總共射擊瞭1萬次,其中射中瞭8000次。

同時,因為概率密度函數必須滿足條件

圖5

這就意味著,每個射擊者,其射擊的命中率不能為0,要不然上圖的積分永遠也不會為1;而且這個命中率也不是f(x),因為f(x)表示的是某個時刻所有人射中的次數;也不是F(x),因為F(x)表示的是一段時間內所有進行射擊的人員總的命中率。因此,我們隻能認為,進行射擊的每一個人都有一個我們不知道的命中率,而且這個命中率應該相同,因為f(x)隻能表示某個時刻所有人變化的射中次數,無法再表示每個人變化的命中率。

從上述分析可以看出,因為每個人的一次射擊可以看作是一次隨機試驗,因此

概率密度函數f(x)似乎可以認為是進行隨機試驗的次數,這個隨機試驗是有一個射中目標的概率的。

因為概率密度函數是對於連續型隨機變量來說的,為瞭模擬這個實數,我們可以假設那塊目標靶位於銀河系的中心,所有參加射擊的人可以在太空中任何位置站立,以一個相同的命中率對著目標靶進行射擊,並且那些人數隨時間變化而變化。因為空間的無限性導致人數可以無限,這樣大概就相當於連續的實數瞭。

f(x)能不能認為是同一個人在進行射擊,但這個人的命中率是隨著時間而變化的,也就是f(x)?從而F(x)表示的是這個人射擊瞭一段時間以後的總的命中率?似乎也是可以的,但我們知道,概率必須小於1,而概率密度可以無限大(對應積分區間無窮小);並且概率是一個測度,也就是這個命中率f(x)是包括有理數和無理數的,但命中率似乎隻能是一個有理數。前面例子中的人數似乎也是有理數,但由於空間的無限性,似乎我們可以認為這個人數可以包括無理數,因為某個時刻的人數可能沒人算得清。

至於圖3中最後一句話是什麼意思,本人不理解,歡迎討論。

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