糾纏（entanglement）是量子力學最吸引人的特征之一，在量子信息中扮演著極其重要的角色。量子糾纏反映瞭量子體系中子系統之間的相關性與不可分性。以兩個向相反方向移動但速率相同的糾纏粒子為例，即使一個行至太陽邊，一個行至冥王星邊，在如此遙遠的距離下，它們仍保有關聯性：當其中一個被操作（例如量子測量）而狀態發生變化，另一個也會即時發生相應的狀態變化。如此現象導致瞭“超距作用”的猜疑，仿佛兩個粒子擁有超光速的秘密通信一般，與狹義相對論中所謂的定域性原理相違背，被愛因斯坦描述為“鬼魅般的超距作用”。目前，量子糾纏已經被廣泛應用到多個方面，如量子密碼，量子密鑰分發，量子隱形傳態，量子計量，和引力波探測器等。
我們考慮由兩個相異物理系統組成的復合系統，按量子力學第四公設，復合物理系統的狀態空間是分物理系統狀態空間的張量積，若將分系統編號為1 到 n，系統 i 的狀態被置為left |psi_{i} right rangle，則整個系統的狀態可以表述為 left |psi_{i} right rangle otimes…otimesleft |psi_{i} right rangle 。具有精確已知狀態的，即可以用一個態矢表述的量子系統稱為純態（purestate）系統，兩體純態就是指能用單一波函數描述的兩體態。就兩體系統而言，它可以表示成：
與此相反，如果一個量子系統是由若幹不同態矢left |psi_{i} right rangle，i=1,2，…，n描述的子系統構成，每個子系統在該系統中以確定的概率出現，則稱這個系統為混合系綜。混合系綜的狀態稱為混態（mixedstate）。換言之，若幹個純態的非相幹混合構成瞭混態。這些純態之間不存在相幹疊加及發生幹涉的問題。
上面提到兩體系統的純態在此基礎上可以區分成兩大類：可離散態和糾纏態。要定義可離散態和糾纏態的概念，先來瞭解一下復合系統純態的Schmidt分解。可以證明，總能將復合系統AB的任一純態left |psi right rangle_{AB} 表示為如下標準的Schmidt分解形式（或稱Schmidt極化形式）：
其中，left |i right rangle_{A}、 left |{i}' right rangle_{B} 分別是A和B中的某兩組特殊的正交基。兩體復合系統的任一純態left |psi right rangle_{AB} 的Schmidt分解式中的項數稱為Schmidt數。於是定義可離散態和糾纏態如下：
- 可離散態：兩個子系統構成的復合系統純態left |psi right rangle_{AB} 的展開式的項數等於left |psi right rangle_{AB} =left |psi right rangle_{A} otimesleft |psi right rangle_{B} ，A和B處於確定態，就稱left |psi right rangle_{AB} 是非糾纏的（或是可離散的），即可離散態是兩個子系統的純態的直積態。
- 糾纏態：復合系統的一個純態，如果不能寫成兩個子系統純態的直積態，即Schmidt分解的展開式中含有多項，這個態就稱為糾纏態，其中子系統A和B則是相互糾纏的，不可分的，即使它們空間離散，對A的觀察也必然會影響B的測量結果。
根據量子系統的本征態具有離散譜還是連續譜，量子糾纏可以分為兩大類：離散變量糾纏和連續變量糾纏。
- 如存在於電子之間的自旋糾纏，單光子之間的偏振糾纏、動量糾纏、能量－時間糾纏等，都屬於離散變量糾纏。這種糾纏具有對損耗不敏感等特點，可用於完成高保真度的量子通信。
- 如光場正交分量之間的糾纏，粒子的位置動量之間的糾纏等，都屬於連續變量糾纏。這種糾纏具有探測效率高，頻率帶寬大，且產生的糾纏態擁有無條件和確定性等特點。
二粒子系統的糾纏概念最早於1935年在Einstein，Podolsky和Rosen（EPR）三位科學傢聯合發表的著名論文中提出，因此由二個子系統構成的糾纏態常常又被稱為“EPR”對。雖然在原始文獻中所討論的可觀測量子變量是具有連續譜的正交坐標與動量，但由於難以在量子水平上精確測定微觀粒子的坐標與動量，所以早期驗證糾纏的實驗都是用離散變量粒子自旋或光子的偏振執行的。多組份糾纏態是相對於兩組份糾纏態而言的，它是指糾纏由多於兩個的子系統共享，這是研究量子通訊網絡和量子計算的基礎。多組份糾纏態形式很多，目前已經研究的主要包括兩大類GHZ糾纏態和Cluster糾纏態。離散變量糾纏的研究取得瞭令人矚目的成績，目前己經利用它完成瞭量子離物傳態、量子密集編碼、糾纏交換等重要的量子信息實驗。實驗上已經產生瞭三光子、四光子、五光子GHZ糾纏態以及四光子Cluster糾纏態。中國科技大學潘建偉研究組實驗產生瞭六光子GHZ糾纏態和Cluster糾纏態。然而由於這些實驗都是利用自發參量下轉換，所以糾纏光子對的產生是幾率性的。目前正在探索新型的單光子源，預計隨著將來腔量子電動力學的發展，實驗上有望得到決定性而非幾率性的單光子源以及糾纏光子對。
從1972年S.Freed-man等人利用Ca原子能級躍遷產生糾纏光子對開始，此後不同種類的離散變量量子糾纏態光源逐步得到瞭實驗研究，包括偏振糾纏態、時間糾纏、時間模式糾纏以及空間模式糾纏等。作為量子信息載體的光子，具有與環境相互作用比較弱，消相幹比較小，光子偏振易於控制等明顯優勢，光子系統的量子糾纏在實際量子信息處理過程中更具有優越性。在線性光學系統中，光子糾纏態的制備一般是利用自發參量下轉換過程（SPDC），比如，利用激光泵浦特殊切割角度的非線性光學晶體（BBO），來產生雙光子偏振糾纏態。
圖1 雙光子偏振糾纏態的制備方法
連續變量方面，雖然實驗研究相比離散變量方面略有滯後，但也取得瞭很大的成績。連續變量EPR糾纏由H.J.Kimble研究組於1992年首次獲得，通常指的是基於光場正交振幅和正交相位分量的糾纏態，他們在非簡並參量放大過程中產生雙模壓縮態光場，並證明瞭光場的量子相關性。根據海森堡不確定關系可知，我們無法同時對正交振幅和正交相位算符進行精確的測量。而對於兩束光的正交振幅和和正交相位差，或者正交振幅差和正交相位和，它們之間滿足對易關系，是可以實現同時精確測量。對於理想的連續變量EPR糾纏,其正交振幅和正交相位之間的關系滿足下列公式：
或
目前實驗上產生連續變量EPR糾纏的方案主要有多種：一種基於兩個光學參量放大器（OPA）產生兩個正交分量壓縮光，將兩束壓縮光在50/50分束器上進行耦合來產生，如圖2左圖所示。目前基於該方案產生的最大糾纏為10dB。另一種是通過非簡並光學參量振蕩器（NOPO）直接產生，一束頻率為w_{p}的泵浦光通過一塊II類非線性晶體，產生一束頻率為w_{s}的信號光和一束頻率為w_{i}的閑置光，這兩束下轉換光就是一對EPR糾纏光，如圖1右圖所示。目前基於該方案產生的最大糾纏為8.4dB。此外，連續變量EPR糾纏還可以通過三階克爾效應，四波混頻過程等過程產生。
圖2 產生連續變量EPR糾纏的兩種方案基於OPA（左）和NOPO（右）
參考文獻
[1]章禮華. 量子糾纏的直接測量研究[D].安徽大學,2014.
[2]蘇曉龍. 連續變量四組份糾纏光場產生和量子保密通信研究[D].山西大學,2007.
[3]蔡春曉. 連續變量空間多模糾纏[D].山西大學,2018.
[4]錢辰. 量子糾纏和量子計算[J].計算機科學,2006(12):230-234.
