在前六篇文章中（鏈接請見文章末尾處），我們學習瞭微分流形 M 以及流形上的積分，但是我們並未對微分流形 M 引入度規，從而未定義流形上兩點之間的距離，未討論切向量的長度以及切向量之間的夾角問題。下面，我們將黎曼度規引入到微分流形 M 上，使之成為黎曼流形，這將使得流形具有更加豐富的幾何結構。
二階協變對稱張兩場
我們引入一二階協變對稱張量場 G in T_2^0(M) ，其滿足如下雙線性映射：
begin{aligned} G : & K times K to F(M)\ & X, Y to G(X, Y) = G(Y, X)\ & X, Y in K(M), G(X, Y) in F(M) end{aligned}
在點 P 的鄰域選取局部坐標系，並且取自然基：
X = xi(x)^i partial_i, Y = eta(x)^ipartial_i\ G(X,Y) = g_{ij}(x)xi^i(x)eta^i(x)
其中， g_{ij} = G(partial_i, partial_j) = g_{ji} 。
由於 G 為對稱張量場，我們有對稱雙線性形式：
G(X, X) = g_{ij}xi^ixi^j
黎曼流形
如果在流形 M 上存在處處可微的恒正二階對稱協變張量場 G ，流形 M 稱為黎曼流形， G 稱為黎曼流形的基本張量場，或者度規張量場。
在定義瞭二階非奇異對稱協變張量場之後，我們可以定義流形 M 的度量結構：
mathrm{d}s^2 = g_{ij}mathrm{d}x^i mathrm{d}x^j
定義流形 M 上曲線 x(t) 的弧長：
Delta s = int left( g_{ij} frac{mathrm{d}x^i}{mathrm{d}t}frac{mathrm{d}x^j}{mathrm{d}t}right)^{frac{1}{2}}mathrm{d}t
此弧長在坐標變換下保持不變。
利用度規張量場，我們可以定義流形 M 上每一點 P 的切空間 T_P(M) 中任意兩個切向量的向量積：
X_P cdot Y_P = G(X,Y)_P = g_{ij}(P)xi^i(P)eta^j(P)
其中 X = xi^ipartial_i, Y = eta^jpartial_j in K(M) 。
當度規張量場正定時，定義切向量的長度：
|X_P| = (g_{ij}(P)xi^i(P)xi^j(P))^{1/2}
同時可以定義兩個切向量 X_P 與 Y_P 之間的夾角 theta ：
cos theta = frac{X_P cdot Y_P }{|X_P||Y_P|}
由於 det(g_{ij}) neq 0 ，可以定義 (g_{ij}) 的逆矩陣 (g^{ij}) ：
g^{ij} = frac{A^{ji}}{det(g_{ij})}
其中 A^{ji} 為矩陣 (g_{ij}) 中元素 g_{ji} 的代數餘子式， g^{ij}(x) 為二階逆變對稱張量場的分量。
有瞭協變張量場和逆變張量場，我們可以定義黎曼聯絡，或者Levi-Civita聯絡：
Gamma^m_{ik} = frac{1}{2}g^{mj}(partial_kg_{ij} + partial_ig_{kj} – partial_jg_{ik})
黎曼聯絡為對稱聯絡，並且由度規張量及其導數完全決定。
微分流形系列文章：
微分流形(1): 預備知識
微分流形(2): 切空間
微分流形(3): 張量積
微分流形(4): 流形局域線性結構
微分流形(5): 外微分
微分流形(6): 流形的定向與流形上的積分
微分流形(7): 黎曼流形
