《幾何原本》是經受時光洗禮流傳至今的最早的數學專著之一，不過也可以視為是漫漫歷史中其他數學專著失傳的“罪魁禍首”，因為在題材上被《幾何原本》涵蓋到的專著在跟這部偉大著作競爭時，大都落敗隕滅瞭——而且更“糟糕”的是，《幾何原本》在題材上的涵蓋面偏偏是相當廣的，並不限於幾何，其全書共分13卷，先後論述瞭直邊形、圓、比例論、相似形、數論、立體幾何以及窮竭法等內容，幾乎“通吃”瞭古代所有的數學領域。在之後兩千多年的時間裡，幾乎可以這麼說：幾何就是歐幾裡得幾何，甚至就是《幾何原本》——正如19世紀的英國數學傢奧古斯塔斯·德·摩根 (Augustus De Morgan) 所言：“從來不曾有過，並且在親眼見到之前我們也決不該相信，會有任何值得一提的幾何體系，包含任何與歐幾裡得所定方案有偏差的材料”。《幾何原本》成瞭一個巨大典范，“在那裡，世界第一次目睹瞭一個邏輯體系的奇跡，這個邏輯體系的步步推進是如此精密，使得它的每個命題都絕對無可置疑”。這“第一次目睹”給世界留下的印象是如此深刻，以至於，小到以諸如“證畢”表示證明結束的習慣，大到以公理化體系作為理論構築和表述的基本手段，都被廣泛模仿。
言歸正傳，我們來看看神作《幾何原本》到底是如何煉成的。
歐幾裡德公理體系
翻開書的第一卷的第一頁，便是23個定義和5個公設及5條公理。
23個定義：
1.點是沒有部分的東西。
（筆者註：換言之，點隻占有位置而沒有大小，即點的長度 d=0。這是修正畢達哥拉斯學派d>0的失敗而得到的。然而，在談論線段的長度時，歐幾裡得直接訴諸於常識，根本不用這個定義，避開瞭“由沒有長度的點累積成有長度的線段”之困局。這個困局在初等數學中確實可以避開，但在微積分中卻是不得不面對的首要問題。）
2.線隻有長度而沒有寬度。
（筆者註：點和線是用於描述形狀的基本模型，所以首先定義，而且定義都是借助於直覺的，利用思維慣性加以抽象，當一個物體的部分越來越小直到忽略不計時，就是一個點，但物體還在；世界上有很多線狀的東西，當我們不考慮其粗細時，就變成瞭隻有長度的線。同時，這裡的線，以及後面的面，都是指有限的線段和面域，無限的線和面都是通過公設2線的延長構造出來的。）
3.一線的兩端是點。
（筆者註：線與點的關系，線可以截斷成更短的線，截斷處都是端點，巧妙避開瞭線上有多少點這種問題；線又可以延長（公設2）成更長的線，就像自然數那樣加到很大很長，但避開瞭無窮。）
4.直線是它上面的點一樣地平放著的線。
（筆者註：顯然這樣的定義隻是一個日常生活中的直觀概念，是極其不嚴格的。但是話說回來，能怎麼辦呢，有瞭直線才有距離，才有之後的概念，直線的定義你真的傷不起。後來的研究表明，不同的直線概念能產生瞭不同的幾何，Hilbert幹脆用公理來確定：幾何學就是給直線一個定義，隻要給出一個直線的定義，就有一套幾何學！）
5.面隻有長度和寬度。
（筆者註：點、線是用於描述形狀的基本模型，加上面，就可以圍起來構成立體瞭。）
6.面的邊緣是線。
7.平面是它上面的線一樣地平放著的面。
（筆者註：面與線的關系，仿照瞭線與點的關系，這平面與直線概念一樣地讓人尷尬，但又能怎麼辦呢，平放的才叫直和平，放的規則不同，就是不同的幾何。。。）
（筆者再註：好，前7條已經把模型構建好瞭，舞臺搭起來，演出可以開始，我們可以想象，有一個平面，它上面有很多平放著的線，平放著的線可以截斷，產生很多端點，端點可以相連構成新的線（公設1），線也可以延長（公設2），隨著線的延長，面也在擴張，於是，一個巨大的富含內容的平面就構造出來瞭。）
8.平面角是在一平面內但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度。
（筆者註：角是相交線的傾斜性質的度量，最小的是不傾斜0，最大的是顛倒過來180°，也是不傾斜，這樣就構成瞭循環；後面的射線角則增加到360°一個循環。另外，相交線沒有規定為直線！）
9.當包含角的兩條線都是直線時，這個角叫做直線角。
10.當一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時，這些角每一個被叫做直角，而且稱這一條直線垂直於另一條直線。
（筆者註：特殊情況，鄰角相等時叫直角。公設4規定，直角都相等。）
11.大於直角的角稱為鈍角。
12.小於直角的角稱為銳角
13.邊界是物體的邊緣。
（筆者註：邊界可以是線，也可以是面。）
14.圖形是一個邊界或者幾個邊界所圍成的。
（筆者註：這個定義很新穎，我們看到的圖形都是面域，而他看到的是框。）
15.圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內有一點與這條線上任何一個點所連成的線段都相等。
（筆者註：圓是一個封閉的線，圓心在哪兒不重要。）
16.這個點（指定義15中提到的那個點）叫做圓心。
17.圓的直徑是任意一條經過圓心的直線在兩個方向被圓截得的線段，且把圓二等分。
18.半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓的圓心與原圓心相同。
19.直線形是由直線圍成的，三邊形是由三條直線圍成的，四邊形是由四條直線圍成的，多邊形是由四條以上直線圍成的。
（筆者註：直線角，直線形！）
20.在三邊形中，三條邊相等的，叫做等邊三角形；隻有兩條邊相等的，叫做等腰三角形；各邊不等的，叫做不等邊三角形。
21.此外，在三邊形中，有一個角是直角的，叫做直角三角形；有一個角是鈍角的，叫做鈍角三角形；有三個角是銳角的，叫做銳角三角形。
22.在四邊形中，四邊相等且四個角是直角的，叫做正方形；角是直角，但四邊不全相等的，叫做長方形；四邊相等，但角不是直角的，叫做菱形；對角相等且對邊相等，但邊不全相等且角不是直角的，叫做斜方形；其餘的四邊形叫做不規則四邊形。
（筆者註：這幾個定義真的是沒有任何異議，所有情況全說到，倘若平時我們也這樣說話，那便沒有誤解瞭！）
23.平行直線是在同一個平面內向兩端無限延長不能相交的直線。
II 五條公設：
1.過相異兩點，能作且隻能作一直線。
2.線段(有限直線)可以任意地延長。
3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓。
4.凡是直角都相等。
5.兩直線被第三條直線所截，如果同側兩內角和小於兩個直角，則兩直線作延長時在此側會相交。
（筆者註：任何讀到上述五條公設的人幾乎必然會註意到一個特點，那就是：第五公設與前四條公設相比實在太繁復瞭，簡直就像一條定理。雖然從邏輯上講，公設(以及公理和定義)無非是一個公理體系的推理起點，繁復與否並不妨礙功能，但自古以來，對公設(以及公理)的一個重要判據就是自明性——或者用亞裡士多德的話說，必須是明顯為真卻無法證明的命題，而表述繁復會損及自明性。第五公設的情形正是如此。
對第五公設的批評或不滿，除瞭表述繁復損及自明性這一泛泛觀感外，還有兩條主要的理由：一是第五公設的逆命題（第一卷命題17）和否命題（命題27和28）的表述繁復程度與第五公設相若，卻都是定理——這很讓人們懷疑第五公設的公設地位；二是倘若歐幾裡得對第五公設的表述不是那麼繁復，而代之以等價的“過直線外的任意一點隻有一條直線與之平行”，也許第五公設就不會那麼吸引眼球，從而也不會引發那麼多探索瞭。
但歐幾裡得為何采用如此繁復的表述呢，如今隻能猜測瞭。一種可能是為瞭避免無窮，“過直線外的任意一點隻有一條直線與之平行”是不能在有限范圍內確認的——因為無論檢驗過多大的范圍，兩條看似平行的直線都仍可能會在檢驗范圍之外相交；第二種可能是歐幾裡得已經感知到這條公設的不尋常之處，故意讓其吸引眼球，以引發後世的探索。從數學史的角度講，這是非常成功的，對第五公設孜孜不倦的探索導致瞭非歐幾何的誕生，對數學乃至物理的影響都極其深遠。）
III 五條公理：
1.跟同一個量相等的兩個量相等。
2.等量加等量，其和相等。
3.等量減等量，其差相等。
4.完全疊合的兩個圖形是全等的。
5.全量大於分量。
這之後便是48個命題，從定義和公理公設出發，以層層遞推的方式，形成一條無比確切的邏輯鏈，在確定的前提之下，每個命題都絕對無可置疑。但另一方面，歐幾裡德幾何的公理公設並不完備。例如，命題1：任意線段都是三角形的一部分。他用通常的方法進行構造：以線段為半徑，分別以線段的兩個端點為圓心作圓，將兩個圓的交點作為三角形的第三個頂點。然而，他的公理並不保證這兩個圓必定相交。因此，許多公理系統的修訂版本被提出，其中有希爾伯特公理系統。
