積分關系定理(格林公式、高斯公式、斯托克斯公式)

一、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式

格林公式(Green formula)

高斯公式(Gauss formula)

斯托克斯公式(Stokes formula)

二、各類積分的起源與關系

  1. 各類積分的起源

2.各類積分之間的關系

2.1重積分、線積分、面積分之間的關系

定積分、重積分、線積分、面積分之間的關系

2.2各類積分之間的轉換

牛頓萊佈尼茲公式、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之間的關系

三、四個積分公式的統一形式

1.外積

定義微分的外積運算,並使用預算符“ wedge ”表示,並滿足以下的運算法則:

  • alpha(dxwedge dy)=(alpha dx)wedge dyalpha 為實數
  • 加法分配律: dxwedge (dy+dz)= dxwedge dy+dxwedge dz
  • 反交換律: dxwedge dy= -dywedge dx
  • 結合律: dxwedge (dywedge dz)=( dxwedge dy)wedge dz

微分的外積運算可以理解為有向度量, dxwedge dy 表示有向面積微分, dxwedge dywedge dz 表示有向體積微分。

2.外微分

在三維歐氏空間中,設函數 f(x,y,z) 在空間區域 V 上連續,則可以定義四個具有外微分形式的函數:

  • 三元0階外微分形式: omega_0=f(x,y,z)
  • 三元1階外微分形式: omega_1=a(x,y,z)dx+b(x,y,z)dy+c(x,y,z)dz
  • 三元2階外微分形式: omega_2=A(x,y,z)dxwedge dy+B(x,y,z)dywedge dz+C(x,y,z)dzwedge dx
  • 三元3階外微分形式: omega_3=F(x,y,z)dxwedge dywedge dz

易得k階外微分形式的外微分是k+1階外微分形式。可以得到 |dxwedge dy|=dxdy ,可以看出我們之所以定義外微分是為瞭後續將無定向積分與定向積分寫成一個統一的形式。

3.用外積、外微分統一四個積分公式

omega=Pdx+Qdy,則格林公式為:

omega=Pdxwedge dz+Qdzwedge dx+Rdzwedge dy,則高斯公式為:

omega=Pdx+Qdy+Rdz,則斯托克斯公式為:

如果我們在註意到 L,S,V 之間的關系,我們可以看出 L=partial S=partial partial V (這裡的 partial 表示邊界),則上述的三個公式可以用下面的公式來統一表示:

註意這裡的 int 僅僅表示積分,而不是一重積分。

四、補充積分公式的其他表示與外微分形式斯托克斯公式的推導

1.格林公式、高斯公式、斯托克斯公式三個積分公式的其他表示形式

旋度 Curl

散度 Divergence

2.格林公式的統一公式推導

begin{aligned} int_{S} P d x+Q d y+R mathrm{~d} z=& iint_{S} mathrm{~d}(P d x+Q mathrm{~d} y+R mathrm{~d} z)=iint_{S}left(frac{partial P}{partial x} mathrm{~d} x+frac{partial P}{partial y} mathrm{~d} y+frac{partial P}{partial z} mathrm{~d} zright) wedge mathrm{d} x+\ &left(frac{partial Q}{partial x} mathrm{~d} x+frac{partial Q}{partial y} mathrm{~d} y+frac{partial Q}{hat{z} mathrm{~d}} zright) wedge mathrm{d} y+left(frac{partial R}{partial x} mathrm{~d} x+frac{partial R}{partial y} mathrm{~d} y+frac{partial R}{partial z} mathrm{~d} zright) wedge mathrm{d} z \ =& iint_{S}left(frac{partial R}{partial y}-frac{partial Q}{partial z}right) mathrm{d} y wedge mathrm{d} z+left(frac{partial P}{partial z}-frac{partial R}{partial x}right) mathrm{d} z wedge mathrm{d} x+left(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}right) d x wedge mathrm{d} y end{aligned}

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