摘要：(1) 模擬調頻及其數學原理；(2) 調頻信號的三個重要參數：最大頻偏、調制指數和帶寬；(3) 幾種常見的調頻信號：廣播、電視伴音和模擬對講機；(4) 有關調頻接收機中頻帶寬的討論；(5) 復合調頻信號：調頻立體聲廣播、環繞立體聲和數據信道，及數字化過渡方案。
和業餘電臺愛好者提到調制和制式，一定要從摩爾斯電碼講起。和通信原理老師提到調制與制式，一定要從雙邊帶調幅(AM)說起。為瞭標新立異，我從調頻說起。
雖然中國的大眾是從70年代後才能聽到調頻廣播，但實際上FM的發明並不是很新的事情。FM的發明者是埃德溫·阿姆斯特朗(Edwin Howard Armstrong, 1890~1954)。阿姆斯特朗發明瞭負反饋、再生、超再生和超外差電路，發明瞭寬帶FM廣播。互聯網上的文章將他描述為在專利官司中失敗的一位落魄的發明天才。他在1933年發明瞭FM廣播，並建造瞭用於試驗的電臺。在和調幅廣播的對比試驗中，他演示瞭不受天電幹擾、可以傳輸高保真聲音的FM廣播技術——用FM傳輸瞭撕紙和潑水的聲音，這些聲音無法在AM中清晰地傳送。1941年，美國多傢FM廣播電臺同時開業，開啟瞭FM時代。而我國第一個FM廣播電臺開播於1959年。
最早的無線電臺是不能傳送聲音的，隻能根據空中有沒有信號，在接收機中產生一個本地音頻信號播放給報務員聽。在20世紀初電子管發明之後，人們擁有瞭讓電磁波的某一個特性隨著聲波信號變化的能力——調制。
模擬調頻的原理
空中某點某個頻率的無線電波載波，可以用一個正弦或餘弦函數來描述： Acos(omega_{0}t+varphi) ，正弦/餘弦波擁有三個參數：幅值、頻率、相位，可被調制參數也隻有這三個。讓載波的三個參數分別隨著聲波信號(基帶信號)變化，得到瞭三種基本的調制方式：調幅、調頻和調相。但後兩個參數，頻率和相位，是被時間t關聯起來的：瞬時頻率就是瞬時相位的變化率。這就尷尬瞭，調相和調頻其實是一回事，隻是對基帶信號求導或積分的區別。好吧，三種基本調制變成兩種瞭，調頻和調相統稱為“角度調制”。
在調頻波中，載波的瞬時頻率受到基帶信號的控制，但幅值保持不變。考慮在100MHz的載波上，用FM傳輸一個500Hz的正弦音頻信號：100MHz就是某個FM廣播電臺可以使用的頻率，而您用高音do( dot{1} )唱'嗚——"的聲音，比較接近500Hz的正弦波。現在要規定一個參數，就是這個500Hz信號幅度達到某個值時候(例如保證基帶信號不出現削頂失真的最大幅值)，100MHz的載波向左右各變動75kHz。那麼所得的調制波的頻率會在99.925到100.075MHz之間變化，變化的速率是每秒500次。這時，如果把基帶信號的頻率改成1000Hz，強度不變，那麼已調波的頻率仍然在99.925到100.075MHz之間變化，但變化速率變為每秒1000次。這時，如果小點聲唱，加個衰減器，把輸入信號的幅值改為原來的一半，那麼已調波頻率變化范圍會隨之減少一半，變成99.9625到100.0375MHz。
調頻調制參數
剛才在討論中人為規定瞭一個常數，就是那個75kHz，它是FM中一個重要的參數，叫做最大頻偏。為瞭得出另外兩個重要的參數，我們現在要做點數學：
把隨時間變化的基帶信號寫成 v_b(t) ，那麼載波的瞬時角頻率會隨著 v_b(t) 線性變化：
omega(t)=omega_0+k_fv_b(t)
其中k_f是系數，後一項的最大值就是最大頻偏（角頻率和頻率之間的換算系數是2pi），調頻波的瞬時相位是瞬時角頻率從0到t的積分：
theta(t)=omega_0t+varphi(t)=omega_0t+k_fint_{0}^{t}v_b(t)dt
我們把上式中後一項的最大值定義為調制指數，記作m。
調頻時，載波瞬時頻率和基帶信號成線性關系變化，同時瞬時相位和基帶信號的積分成線性關系。
我們考慮基帶信號是一個單音正弦/餘弦波。之所以研究正弦/餘弦波，是因為有個叫傅裡葉的老爺子告訴我們，通信中其他基帶信號都可以寫作一系列正弦/餘弦波的組合。設基帶信號 v_b(t)=V_Omega cosOmega t ，那麼FM已調波就可以寫成
s_{FM}(t)=Acos[omega t+frac{k_fV_Omega}{Omega}sinOmega t]
後一項sin是原信號中cos對時間的積分，積分常數定為0。它是一個正弦函數，調制指數作為其極值，當然是正弦函數前的系數：
m=frac{k_fV_Omega}{Omega}
最大頻偏
Delta omega=k_fV_Omega
註意調頻波(FM)的最大頻偏和基帶信號頻率無關，調制指數(最大相移)與基帶信號頻率成反比。在今後對調相(PM)的討論中，會發現PM波的頻偏和基帶信號頻率成正比，而調制指數和基帶信號頻率無關。這導致FM波的頻譜寬度對於不同的Ω幾乎不變。
由於通信中的基帶信號都具有有限的帶寬，即 Ω存在一個最大值。故對於FM波，常講“最大頻偏”和“最高基帶頻率時的調制指數”；對於PM波，講“最高基帶頻率下的最大頻偏”和“調制指數”。最大頻偏和調制指數之間的關系為 Delta omega = mOmega 。
下一個重要的參數是調頻信號在射頻頻譜中占用的帶寬。當攜帶信息的不同頻率無線電信號在空中傳輸時，都要占據一定的頻譜資源，信息論的創立者香農(Claude Elwood Shannon, 1916~2001)在他的論文中給出瞭傳輸數據率、信道信噪比和必要傳輸帶寬的數學關系。進行通信時，我們必須確保這個信號所占用的帶寬范圍內，存在的幹擾是可接受的——即信噪比足夠高。帶寬還決定瞭頻率上相鄰兩個電臺使用頻率最小的間隔。更重要的，信號帶寬還直接決定瞭接收機電路中頻濾波器的帶寬，根據中頻濾波器帶寬的要求，選擇中頻濾波器的實現方式：可以是一個LC槽路（AM收音機）、一組晶振（收報機）、一個聲表面濾波器（電視機）、一個陶瓷濾波器（FM收音機），或是數字化的後用數字信號處理技術(DSP)實現（高級收音機、電臺）。中頻濾波器的特性直接影響接收機的性能。所以瞭解信號的帶寬在通信中至關重要。那麼FM信號的帶寬究竟是多少？
將幅值歸一化，餘弦調制的FM波 s_{FM}(t)=cos[omega t+m sinOmega t] 用和角公式展開，得到
s_{FM}(t)=cosomega_0tcdotcos(msin Omega t)-sin omega_0tcdotsin(msinOmega t)
根據n階第一類貝塞爾函數 J_n(x) ，有
cos(msinOmega t)=J_0(m)+2sum_{n=1}^{infty}{J_{2n}(m)cos2nOmega t}
sin(msinOmega t)=2sum_{n=0}^{infty}{J_{2n+1}(m)cos(2n+1)Omega t}
帶入原式，再次利用三角函數積化和差公式，我們將FM信號分解為一系列餘弦波的和，其幅值為以m為參數的各階貝塞爾函數的值，頻率為以載波頻率為中心，的一系列譜線 …omega_0-2Omega,omega_0-Omega,omega_0,omega_0+Omega,omega_0+2Omega… ,間隔是調制頻率的整數倍。調制指數m越大，邊頻分量獲得的功率也就越大。利用貝塞爾函數零點的位置，可以發現對於特定的m，可以找到幅值為零的邊頻，這一特性可用於測量調制指數。
調制指數m=1時，單音FM信號的頻譜。圖片來自普源教育 – 教學資源 – 高頻電子線路實驗教學方案
調制指數m=10時，單音FM信號的頻譜，圖片來自普源教育，註意幅值為0的譜線。
數學公式把FM信號展成無窮級數的和，表明調頻信號的頻譜是無限寬的。無限寬頻譜的信號無法在工程上運用——頻譜資源是有限的，設備帶寬是有限的。幸好貝塞爾函數的性質還告訴我們，高到一定次數的邊頻分量的振幅可以忽略不計，濾除他們不會有顯著的影響。人為規定，小於未調制載波幅度1%或10%的邊頻忽略不計，保留下來有限的邊頻分量確定瞭FM信號的帶寬。
下面考察輸入信號不是單音的情況。利用相同的數學原理，我們發現，邊頻分量變為基帶信號中各頻率分量的線性組合，幅值變為各階貝塞爾函數值的乘積。由於貝塞爾函數的絕對值小於1，高階分量的幅值迅速衰減，整個FM信號的帶寬還集中在靠近載波頻率的一定范圍內。估算這個范圍的近似公式稱為FM帶寬的卡森公式： BW=2(m+1)F=2(Delta f+F)
其中m是調制指數，Δf是以Hz為單位的最大頻偏，BW是以Hz為單位的FM信號卡森帶寬。這個公式是當時AT&T通信工程師卡森(John Renshaw Carson , 1886~1940)在1922年提出的。
當Δf遠大於F時，FM帶寬主要由Δf決定，此時稱為寬帶調頻(WFM)，FM廣播、電視伴音都是WFM。衛星通信愛好者喜歡的美國NOAA氣象衛星也是使用WFM方式向地面傳輸衛星雲圖的。當F占主導地位，FM帶寬近似於2F，和調幅的帶寬類似。這時稱為窄帶調頻。模擬對講機、短波FM對講機（如10米波段漁業電臺、曾經一度風靡全國的F30-5對講機）的信號都認為是窄帶調頻。
幾種常見的FM制式
終於結束瞭復雜的數學推導。但研究這些理論是有意義的。因為在FM制式中，就要用到這些參數：
FM單聲道廣播：載波頻率76~88MHz，88~108MHz，基帶最高頻率F=19kHz，調制頻偏Δf=75kHz
FM立體聲廣播：基帶最高頻率F=53kHz，調制頻偏Δf=75kHz
某種制式的電視伴音：伴音中頻6.5MHz，基帶最大頻率F=15kHz，調制頻偏Δf=50kHz
模擬對講機寬帶模式：基帶最大頻率F=2.4kHz，調制頻偏Δf=5kHz
模擬對講機窄帶模式：基帶最大頻率F=2.4kHz，調制頻偏Δf=2.5kHz
習題
計算上面提到的幾種FM制式的信號帶寬。在互聯網上搜索目前FM廣播、對講機寬帶、對講機窄帶規定的頻道間隔是多少，各自比卡森帶寬大多少？
接收機帶寬不匹配的影響
接收機中頻帶寬大於信號帶寬
考慮本文開頭提到的例子，當輸入信號電平減少到原來的一半時，實際上最大頻偏也減小到原來的一半。最終的FM帶寬也隨之減小。這說明，控制基帶信號的電平可以控制FM信號的最大頻偏，這也是FM電路調試中的一個步驟。那麼，用寬帶接收機接收窄帶信號，就可以看做基帶信號調制電平不足的寬帶信號，在接收機中就表現為音量小。用電視伴音收音機接收模擬對講機是這種情況，你可以看到接收機收到很強的信號，但音量很小，甚至像收到一個空載波一樣。
如果多個窄帶信號同時落進瞭寬帶接收機的中頻范圍之內，例如用濾波特性糟糕的VHF無線電視接收機，調諧到FM廣播的頻道，你會同時收到多個FM電臺的聲音。
接收機中頻帶寬小於信號帶寬
使用對講機接收UHF上的電視伴音就是這種情況。此時，隻有基帶信號中電平較低的部分才能被被正確解調，如電視節目的背景音樂；而頻偏超過中頻帶寬的部分無法進入接收機，收到的信號出現瞭類似飽和失真的特性。
FM廣播復合調制制式
在FM廣播的基帶信號復合調制其他信息，可以擴展FM廣播的用途。在阿姆斯特朗發明FM的時候，他就在自己的實驗電臺（業餘電臺在當時的稱呼）上進行瞭利用FM副載波傳說其他信息的嘗試。
各種附加信息傳輸中，其中現在最常見的、形成標準、有便宜的商用解碼芯片的復合調制制式就是調頻（雙聲道）立體聲。
此外，還有許多應用范圍較小的不同復合調制制式。他們的共同之處是基帶信號得到低15kHz一定保留給廣播音頻信號，以兼容傳統的FM收音機，然後在基帶信號19kHz以上的頻譜上大做文章，傳輸不同的數據。
首先來看廣泛應用的FM立體聲，然後再簡要介紹一下世界各地各式各樣的復合調制制式。
調頻立體聲
1958年，美國工程師蘭納德·康發明瞭調頻立體聲廣播。第二年，美國商用電臺開始瞭立體聲廣播。我國的調頻立體聲廣播誕生於1980年。調頻立體聲在此後很長一段時間中都是大眾能獲得的最好的高保真音源。
調頻立體聲廣播是兼容FM單聲道廣播的復合調制制式，單聲道收音機接收立體聲廣播信號時，解調的音頻是左右兩聲道的和信號L+R。當信噪比不佳時，立體聲收音機也可以關閉立體聲功能，減少雜音。之所以關閉立體聲可減少雜音，和FM噪聲譜密度的分佈有關，基帶信號中頻率較高的部分，受噪聲的影響更加嚴重。
立體聲信號的兩個聲道，相加得到和信道L+R，相減得到差信道L-R。
其中L+R信號占據基帶信號的0~15kHz的帶寬。在基帶信號19kHz處插入一個正弦導頻，以便接收機倍頻恢復38kHz的副載波。L-R信號通過抑制載波調幅調制在38kHz的副載波上，占據23~53kHz的帶寬。最後，L+R、導頻、L-R信號共同作為53kHz帶寬的基帶信號，通過FM調制發送出去。其中預加重和去加重技術用於減小噪聲的影響，原理另文討論。
在RF信號的頻頻譜瀑佈圖上，立體聲FM信號的載波兩邊可以看到連續的19kHz導頻的譜線：
除瞭常見的雙聲道立體聲調頻廣播，還有很多不常見的FM復合調制制式。可能僅在某些國傢或某些廣播公司使用。以下內容多來自網絡，我無法驗證其中技術信息的準確性。
四聲道調頻(環繞)立體聲
1970年代，美國音頻工程師路易斯·道文(Louis Dorren, 1948~2014 ?)嘗試瞭四聲道FM廣播。道文發明的四聲道復用技術至今仍在影響音響設備系統，但四聲道立體聲FM廣播並沒有沒有很好地商用。
四聲道系統中，用左前、左後、右前、右後描述四個聲道，記作LF、LR、RF和RR。現在更常見的5.1聲道系統就是在四聲道基礎上增加瞭中央聲道M，而多出來的0.1表示的重低音。道文的專利中這樣描述瞭四聲道立體聲FM廣播，使用瞭38kHz和76kHz兩個子載波，這種四聲道信號體制可以兼容單聲道接收機和普通雙聲道立體聲接收機。
基帶副載波數據傳輸
在比L-R信號更高的頻段，工程師開發瞭多種利用子載波/副載波的數據傳輸模式。北美的RDS(Radio Data System)和RBDS(Radio Broadcase Data System)在57kHz的副載波上使用2PSK調制1187.5bps的數據，占據大約4kHz的帶寬。此外在DARC中，可以使用67kHz和92kHz的副載波。最高基帶信號的頻率為99kHz，FCC要求此時FM最大頻偏增加到82.5kHz(75kHz標準頻偏的110%)。
傳輸的數據內容包括電臺信息、節目信息、節目表、交通信息、緊急廣播等等，在歐美地區，有幾種不同的數據廣播幀格式。
頻譜瀑佈圖展示瞭一個FM廣播的復合基帶信號：從左到右分別展示瞭 L+R、19kHz導頻、中心位於38kHz的抑制載波雙邊帶調幅的L-R、中心位於57kHz的RBDS的PSK信號、以及67kHz處的副載波（頻譜看起來像一個保留載波的單邊帶信號）。
數字化的過渡方案
目前廣播在朝著數字化方向發展。商用的數字化廣播幾乎都采用具有矩形頻譜形狀的OFDM調制，如DRM技術（註意不是數字對講機使用的DMR）。HD-Radio是一種模擬到數字的過渡方案，在FM模擬信號頻譜的兩端，利用OFDM同步傳輸數字廣播信號。
HD-Radio 模擬FM頻譜兩側的OFDM數字信號。這種信號兼容模擬FM接收機，同時也傳輸數字廣播信號，可用於向數字廣播過渡。
在中國，也已經有報道說收到瞭類似的信號。經確認是中央廣播電視覆蓋數字化工程建設開播的CDR (China Digital Radio) 制式信號。部分城市已經開播廣播節目，市場上已有兼容此制式的CDR/FM收音機商品銷售。
不正經的參考文獻：吉林大學課程網站上的FM立體聲廣播原理圖。普源儀器官網的FM頻譜圖，維基百科，sigidwiki網站。路易斯·道文君的美國專利，張蕭文1983年編著的高頻電子線路教材。廣播科學研究院介紹CDR的演示文稿。
