1、奇異矩陣的感性理解

說明:本文本系列是個人心得,學習MIT Gilbert Strang的線性代數之後心得,其目的並非傳播,而是本人記載體會。本系列同時旨在理解聯系線性代數和實際空間的感性認知。 文筆之差,謝絕轉載。

三階矩陣乘於三維列向量,Ax=b, Strang 說的不夠立體,應該是 一個 原本基於老空間(x=1 y=1 z=1) 所表示的三維列向量,在 ——>三維空間線性變換後的新空間中,基於新基和新三維的空間,這個三維列向量在新坐標系下的新的表述。

而 Gilbert Strang 在class 1想費力說明的一個問題是,關於奇異矩陣和三維中平面的關系:

以(3*1列向量的型態) 分解三階矩陣分別為矩1,矩2,矩3,矩123分別 由 三維列向量拆分的 x , y , z 對矩1 2 3 分別進行線性組合成為線性相關,而結果就是矩4,我們先認為是b。簡言:Ax=b。(以下討論是奇異矩陣和非奇異矩陣都是根據“b”無解有解而去認為A是奇異矩陣還是非奇異矩陣)

現在出現一個問題是:前提:當矩1+矩2+矩3=矩4,(註意:不包含系數),不管xyz與矩怎麼線性組合,b一定存在在矩陣1、矩陣2、矩陣3三者構成的平面內,(註意:沒錯,是平面,但是,是在三維空間中平面。)。我們進一步說,這個線性組合有解:結果b(矩陣4),因為有解,且隻能在平面——>它是非奇異矩陣,可逆。(這個非奇異矩陣是A)

但是,無解呢,也就是b這個向量不在平面內,那就不能稱為b瞭呀。假設,假設是這樣的,出現矩陣1+矩陣2=矩陣3,即是:矩陣3這個維度可被矩1和矩2合力構成,那麼我們認為矩陣3沒法存在有單獨的一個維度,它是能由它人的維度構成,被包含在它人(矩12)的維度中。若b這個向量不在矩12的線性組合的平面內,那就不能稱為b瞭,也即存在無解,進一步的,我們認為,在三維空間中,有很多向量 不在矩1和矩2構成的平面裡。即認為這個 平面 是奇異矩陣。認為 這些平面外的無法被矩12進行線性組合的向量對於線性方程而言,是 無解 的,是存在在線性方程矩陣1和2構成的面之外的向量。

下面用空間思維理解會進一步理解奇異矩陣是什麼:

那麼,我們用空間的思維理解就是,首先“面”是我們虛構的(不存在的),其次引入“原空間”,“變換後的空間”兩個“概念”:

在三維的原空間中,存在有一個向量,在原空間扭曲變換後,在新的空間裡,這個向量存在在這個新的空間裡,並且這個向量在新的空間裡更新為“隨著變換、更新後的向量”(即是b,矩4),這個新向量有一個特征就是:新向量有一個規律,這個規律就是我們在三維中想象的:冥冥中的那個面。我叫它“虛的面”,規律就是,這個新向量一定在虛的面中。

以下重點!

但是,倘若,經過扭曲變換後,向量不見瞭呢,(是不是你根本就沒想到向量在扭曲後消失瞭呢),好神奇啊,真它喵的神奇啊,竟然,轉換空間後,向 量 骨 頭 都 沒 剩 下 瞭 ,毛都沒有,找都找不到——嗯,我們就叫它,叫無解。(註意它的解也不是在平面之外,它,沒有解。而實際不是空間中毫無向量,而是向量不存在在平面上,平面外的都叫“無解”,這指對於這個矩陣的無解)這個“消失瞭,好神奇啊”的源頭罪魁禍首是一個“變換矩陣”影響的,即認為它是一個“奇異矩陣”。這個變換後的空間是“奇異矩陣”變換來的。

以下這一段話討論的x、y、z不同於三維列向量拆分的 x , y , z。以下的討論x、y、z,即是分別為矩1 2 3:(這樣思考的目的有二:目的一是告訴你真正的xyz就是基ijk就是分別是矩1 2 3;目的二:三維列向量拆分的 x , y , z不過是適逢其會取其名而已,三維列向量拆分的 x , y , z可以在空間中理解為一個向量,在計算公式中理解為線性變換的對基向量的“倍數關系”。)

這個空間中x,y,z三個基坐標(矩123)(或者說i,j,k也行),其中有一個坐標(假設是z),z在x和y構成的平面上,那麼xyz三人原本約定“一個人一個維度上的方向”:要悄悄構築一個立體空間的。而最後x,y構築瞭兩個維度上方向瞭,而z放水瞭,找不到它的維度,新方向是構築出來瞭,但維度上還是處在x和y兩人已有的維度上,而隻有兩個維度,就是一個平面,那麼“三維的約定”最後z就是xy兩者構築的平面上,隻有二維,x、y、z構築的隻有二維,那麼即認為它構築的這個矩陣為“奇異矩陣”,假如,構建出來的是三維矩陣,即是我們的前提條件失效:x+y不等於z,那麼這個構築出來的三維矩陣就是非奇異矩陣。

註意一下:“有解”指的是虛的面中解(向量),“有解”的解就是b、矩4。那麼形成“有解”的結果的源頭就是A,就是“非奇異矩陣”。(中文理解:沒有奇怪的地方)

而—— 在一個立體空間裡,這個面之外的那些遊離的向量,就是“無解”,那麼形成“無解”,沒有解的結果的罪魁禍源的源頭就是A,就是“奇異矩陣”。(中文理解:奇怪的地方。我個人想叫它“奇異基向量”,畸形後的畸形啊…)。

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無解和有解從計算上的理解:

奇異矩陣行列式|A|等於0。若行列式|A|不等於0,則矩陣A為非奇異矩陣。

|A| = 0 : 奇異

|A| ≠ 0 : 非奇異

所以奇異無解,也就理所當然瞭,因為Ax=b,det([A])是0嘛,結果也就無解嘛。

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可不可逆和奇異性質:

同時,由|A|≠0可知:矩陣A可逆,這樣可以得出另外一個重要結論:

可逆矩陣就是非奇異矩陣,非奇異矩陣也是可逆矩陣。

非奇異矩陣 —— 可逆

奇異矩陣 —— 不可逆

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現在我又多瞭一個問題:

轉換後的空間是什麼?轉後的空間是經過降維嗎?

那得看從什麼角度去觀察瞭,基於原空間的網格線是降維瞭。基於新空間,也就是x、y、z,z被x、y兩人吃瞭嘛,也就是從新維度新空間去看,隻有x、y對新空間的維度有貢獻,那麼二維相對於三維而言是降維瞭。

對於這個問題應該從哪種角度取考慮,我沒有再深入思考下去,好像目的性不是特別明顯就不深究瞭。

關於 Gilbert Strang — class 1 有三個部分組成:

1、方程組拆解成列向量的型式 分別 乘於 列向量的x、y、z

2、奇異和非奇異矩陣概念、奇異矩陣和三維中的平面關系

3、矩陣的乘法,二階矩陣乘於列向量的兩種技巧。

本文闡述主要是2部分,1部分過於簡單直接引用結論在2部分前面。

關於1部分可以見其它人的筆記:

憶臻:MIT線性代數課程精細筆記[第一課]

關於3部分可以繼續看上面的鏈接,該文第三部分節點是3.3.

個人簡言第3部分其實就是兩種技巧:

A方法:大學教的行乘於列

B方法:

要知道v=?i+??j,

那麼列向量上面的即是?,?去乘於矩陣i(本人命名畸i),

而列向量下面的即是?? , ?? 去乘於矩陣j(本人命名畸j),

註意畸i畸j不是乘後的結果,而是矩陣的左邊和右邊,

矩陣其實應該叫做“變換矩陣”,指扭曲變換後新的空間中的新的兩個基,我叫它畸i和畸j(矩陣左邊和右邊)。

B方法顯然更符合線性關系的思想。

《 1、奇異矩陣的感性理解》(完)

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