【初二數學新課】八上數學·知識點總結歸納
蘇教版八年級數學上冊
(義務教育教科書)
知識點總結
第一章 三角形全等
一、全等三角形的定義
1、全等三角形：
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
2、理解：
（1）全等三角形形狀與大小完全相等，與位置無關；
（2）一個三角形經過平移、翻折、旋轉後得到的三角形，與原三角形仍然全等；
（3）三角形全等不因位置發生變化而改變。
二、全等三角形的性質
1、全等三角形的對應邊相等、對應角相等。
理解：
（1）長邊對長邊，短邊對短邊；最大角對最大角，最小角對最小角；
（2）對應角的對邊為對應邊，對應邊對的角為對應角。
2、全等三角形的周長相等、面積相等。
3、全等三角形的對應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等。
三、全等三角形的判定
1、邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。
2、角邊角公理(ASA) 有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。
3、推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。
4、邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等。
5、斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。
四、證明兩個三角形全等的基本思路
1、已知兩邊：
（1）找第三邊（SSS）；
（2）找夾角（SAS）；
（3）找是否有直角（HL）。
2、已知一邊一角：
（1）找一角（AAS或ASA）；
（2）找夾邊（SAS）。
3、已知兩角：
（1）找夾邊（ASA）；
（2）找其它邊（AAS）。
第二章 軸對稱
一、 軸對稱圖形
相對一個圖形的對稱而言；軸對稱是關於直線對稱的兩個圖形而言。
二、 軸對稱的性質
1、軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。
2、如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麼對稱軸是任何一對對應點所連的線段的垂直平分線。
三、線段的垂直平分線
1、性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等。
2、判定定理：到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。
3、拓展：三角形三條邊的垂直平分線的交點到三個頂點的距離相等。
四、角的角平分線
1、性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
2、判定定理：到角兩個邊距離相等的點在這個角的角平分線上。
3、拓展：三角形三個角的角平分線的交點到三條邊的距離相等。
五、等腰三角形
1、性質定理：
（1）等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）。
（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合（三線合一）。
2、判斷定理：
一個三角形的兩個相等的角所對的邊也相等。（等角對等邊）。
六、等邊三角形
1、性質定理：
（1）等邊三角形的三條邊都相等。
（2）等邊三角形的三個內角都相等，都等於60°。
2、拓展：等邊三角形每條邊都能運用三線合一這性質。
3、判斷定理：
（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形。
（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。
（3）有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。
（4）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
七、直角三角形推論
1、直角三角形中，如果有一個銳角是30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
2、直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。
3、拓展：直角三角形常用面積法求斜邊上的高。
第三章 勾股定理
一、基本定義
1、勾：直角三角形較短的直角邊
2、股：直角三角形較長的直角邊
3、弦：斜邊
二、勾股定理
1、定理：
直角三角形兩直角邊a，b的平方和等於斜邊c的平方，即a2＋b2＝c2。
三、勾股定理的逆定理
1、定理：
如果三角形的三邊長a，b，c有關系a2＋b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形。
三、勾股數
1、定義：
滿足a2＋b2＝c2的三個正整數，稱為勾股數。
2、常見勾股數：
3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13。
四、簡單運用
1、勾股定理——常用於求邊長、周長、面積:
理解：
（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊，並能求出周長、面積。
（2）用於證明線段平方關系的問題。
（3）利用勾股定理，作出長為
的線段。
2、勾股定理的逆定理——常用於判斷三角形的形狀:
理解：
（1）確定最大邊（不妨設為c）。
（2)若c2＝a2＋b2，則△ABC是以∠C為直角的三角形。
（3)若a2＋b2＜c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）。
（4）若a2＋b2＞c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）。
(5)難點：運用勾股定理立方程解決問題。
第四章 實數
一、平方根
1、定義：一般地，如果x2=a(a≥0)，那麼這個數x就叫做a的平方根（或二次方根）。
2、表示方法：正數a的平方根記做
，讀作“正、負根號a”。
3、性質：
（1）一個正數有兩個平方根，它們互為相反數。
（2）零的平方根是零。
（3）負數沒有平方根。
二、開平方
1、定義：求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。
三、算術平方根
1、定義：
一般地，如果x2=a(a≥0)，那麼這個正數x就叫做a的算術平方根。特別地，0的算術平方根是0。
2、表示方法：
記作，讀作“根號a”。
3、性質：
①一個正數隻有一個算術平方根。
②零的算術平方根是零。
③負數沒有算術平方根。
4、註意
的雙重非負性：
四、立方根
1、定義：
一般地，如果x3=a那麼這個數x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
2、表示方法：
記作，讀作“三次根號a”。
3、性質：
（1）一個正數有一個正的立方根。
（2）一個負數有一個負的立方根。
（3）零的立方根是零。
4、註意：
，這說明三次根號內的負號可以移到根號外面。
5、
五、開立方
1、定義：
求一個數a的立方根的運算，叫做開立方。
六、實數定義與分類
1、無理數：無限不循環小數叫做無理數。
理解：常見類型有三類
（1)開方開不盡的數：如
等。
(2)有特定意義的數：如圓周率π，或化簡後含有π的數，如π+8等。
(3)有特定結構的數：如0.1010010001……等；(註意省略號)。
2、實數：
有理數和無理數統稱為實數。
3、實數的分類：
（1）按定義來分
（2）按符號性質來分
七、實數比較大小法理解
1、正數大於零，負數小於零，正數大於一切負數。
2、數軸比較：數軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大。
3、絕對值比較法：兩個負數，絕對值大的反而小。
4、平方法：a、b是兩負實數，若a2＞b2，則a＜b。
八、實數的運算
1、六種運算：加、減、乘、除、乘方、開方。
2、實數的運算順序：
先算乘方和開方，再算乘除，最後算加減，如果有括號，就先算括號裡面的。
3、實數的運算律：
加法交換律、加法結合律 、乘法交換律、乘法結合律 、乘法對加法的分配律。
九、近似數
1、定義：
由於實際中常常不需要用精確的數描述一個量，甚至在更多情況下不可能得到精確的數，用以描述所研究的量，這樣的數就叫近似數。
2、四舍五入法：
取近似值的方法——四舍五入法。
十、科學記數法
1、定義：
把一個數記為科學計數法。
十一、實數和數軸
1、每一個實數都可以用數軸上的點來表示；反過來，數軸上每一個點都表示一個實數。
2、實數與數軸上的點是一一對應的關系。
第五章 平面直角坐標系
一、在平面內，確定物體的位置一般需要兩個數據。
二、平面直角坐標系及有關概念
1、平面直角坐標系：
（1）定義：在平面內，兩條互相垂直且有公共原點的數軸，組成平面直角坐標系。
（2）坐標軸：其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統稱坐標軸。
（3）原點：它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。
（4）坐標平面：建立瞭直角坐標系的平面，叫做坐標平面。
2、象限：
（1）定義：為瞭便於描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
（2）註意：x軸和y軸上的點（坐標軸上的點），不屬於任何一個象限。
3、點的坐標的概念：
（1）對於平面內任意一點P,過點P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數a，b分別叫做點P的橫坐標、縱坐標，有序數對（a，b）叫做點P的坐標。
（2）點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在後，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。
（3）平面內點的坐標是有序實數對，當a≠b時，(a，b)和(b，a)是兩個不同點的坐標。
（4）平面內點的與有序實數對(坐標)是一一對應的關系。
4、不同位置的點的坐標的特征:
（1）各象限內點的坐標的特征：
①點P(x,y)在第一象限：x>0,y>0； 點P(x,y)在第二象限：x<0,y>0。
②點P(x,y)在第三象限：x<0,y<0； 點P(x,y)在第四象限：x>0,y<0。
（2）坐標軸上的點的特征：
①點P(x,y)在x軸上：y=0，x為任意實數。
②點P(x,y)在y軸上：x=0，y為任意實數。
③點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上：即是原點坐標為（0，0）。
（3）兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征：
①點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上：x與y相等。
②點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線（直線y=-x）上：x與y互為相反數。
（4）和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征：
①位於平行於x軸的直線上的各點的縱坐標相同。
②位於平行於y軸的直線上的各點的橫坐標相同。
（5）關於x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征：
①點P與點p’關於x軸對稱：橫坐標相等，縱坐標互為相反數，即點P（x，y）關於x軸的對稱點為P’（x，-y）。
②點P與點p’關於y軸對稱：縱坐標相等，橫坐標互為相反數，即點P（x，y）關於y軸的對稱點為P’（-x，y）。
③點P與點p’關於原點對稱：橫、縱坐標均互為相反數，即點P（x，y）關於原點的對稱點為P’（-x，-y）。
（6）點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：
①點P(x,y)到x軸的距離等於|y|。
②點P(x,y)到y軸的距離等於|x|。
③點P(x,y)到原點的距離等於
。
第六章 一次函數
一、函數
一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就確定瞭一個y值，那麼我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。
二、自變量取值范圍
使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。
三、函數的三種表示法
1、關系式（解析）法：
兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做關系式（解析）法。
2、列表法：
把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。
3、圖象法：
用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。
四、由函數關系式畫其圖像的一般步驟
1、列表：
列表給出自變量與函數的一些對應值。
2、描點：
以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點。
3、連線：
按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。
五、正比例函數和一次函數概念與性質
1、正比例函數和一次函數的概念：
（1）一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成y=kx+b（k，b為常數，k0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。
（2）特別地，當一次函數y=kx+b中的b=0時（即）（k為常數，k0），稱y是x的正比例函數。
（3）正比例函數是特殊的一次函數。
2、一次函數的圖像:
所有一次函數的圖像都是一條直線。
3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：
（1）一次函數y=kx+b的圖像是經過點（0，b）的直線。
（2）正比例函數y=kx的圖像是經過原點（0，0）的直線。
4、正比例函數的性質：
一般地，正比例函數y=kx有下列性質：
（1）當k>0時，圖像經過第一、三象限，y隨x的增大而增大。
（2）當k<0時，圖像經過第二、四象限，y隨x的增大而減小。
5、一次函數的性質：
一般地，一次函數y=kx+b有下列性質：
（1）當k>0時，y隨x的增大而增大。
（2）當k<0時，y隨x的增大而減小。
六、正比例函數和一次函數解析式的確定
1、確定一個正比例函數，就是要確定正比例函數y=kx（k≠0）中的常數k。
2、確定一個一次函數，需要確定一次函數y=kx+b(k≠0)中的常數k和b。
3、解這類問題的一般方法是待定系數法。
4、具體方法：過點必代，交點必聯。
七、一次函數與一元一次方程的關系
1、任何一個一元一次方程都可轉化為：kx+b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．而一次函數解析式形式正是y=kx+b（k、b為常數，k≠0）．當函數(y)值為0時，即kx+b=0就與一元一次方程完全相同。
2、由於任何一元一次方程都可轉化為kx+b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉化為：當一次函數值為0時，求相應的自變量的值。
3、從圖象上看，這相當於已知直線y=kx+b確定它與x軸交點的橫坐標值。
