房貸計算公式（等額本息、等額本金）以及提前還款計算

最近房貸利率下調瞭，好多朋友都提前還款瞭。之前對房貸的計算公式概念一直比較模糊，也不太清楚部分提前還款後剩餘的貸款應該怎麼還，所以花時間研究瞭下~分享出來希望對大傢有幫助

房貸的計算

我們先約定一些變量，便於後續推導

已知的變量有：

本金：P（借款總額，比如44w）
月利率：i （年化利率/12，比如房貸利率0.0565，i=0.004708）
期數：n（還款總月數，比如30年就是30*12 = 360期）

我們希望計算的變量有：

月供：Y（每月還款）
累計還款：S（累計還的本金+利息之和）
累計利息：I（累計還的利息之和）
每月還利息：Yi（每月還款中，還利息的部分）
每月還本金：Yp（每月還款中，還本金的部分）
每月剩餘本金：Pr（每月還款後，還剩餘沒還的本金）

等額本息

你從銀行借的本金，其實是按月（而不是按年）計算復利的，所以在n期結束以後，本金產生的本利應該是

Ptimesleft( 1+i right)^{n}

但是你實際還款不是這麼多，原因是，你的月供也會產生利息，而且也是復利。比如你第1個月還瞭Y的錢，到n期結束產生的本息是

Ytimesleft( 1+i right)^{n-1}

n-1是因為第1個月還的要到第2個月開始才產生利息。以此類推，第2、3……、n個月的月供產生的本息就是

Ytimesleft( 1+i right)^{n-2} 、Ytimesleft( 1+i right)^{n-3}、……、Ytimesleft( 1+i right)^{0}

可以發現這是個等比數列，根據求和公式

Ytimesleft( 1+i right)^{n-1}+Ytimesleft( 1+i right)^{n-2}+……+Ytimesleft( 1+i right)^{0}

=Ytimesfrac{(1+i)^n -1}{1+i-1}

=Ytimesfrac{(1+i)^n -1}{i}

而本金產生的本利，應該等於還款的本利，即

Ptimesleft( 1+i right)^{n}=Ytimesfrac{(1+i)^n -1}{i}

所以可以得到月供的計算公式

Y = frac{Ptimesleft( 1+i right)^{n}times i}{(1+i)^n -1}

帶入可得

Y = frac{440000timesleft( 1+0.004708 right)^{360}times 0.004708}{(1+0.004708)^{360} -1}=2539.84

可以用網上的房貸計算器驗證房貸計算器：

還款總額則是

S=ntimes{Y}=frac{ntimes{P}timesleft( 1+i right)^{n}times i}{(1+i)^n -1}=914341.49

總利息

I = S -P = 474341.49

我們可以繼續思考下，反過來想象下，如果我們不是貸款而是存款44w，存30年，按什麼年利率才能在到期後得到本利91w呢？

440000timesleft( 1+x right)^{30}=914341.49

計算可得x=0.02468，也就是年利率才2.47%

另外每月的還款額中，所還利息部分、本金部分分別占多少？還完後剩餘待還本金是多少？這幾個變量是和月份有關系的，我們用Yi(k)、Yp(k)、Pr(k)表示，k=1,2……n。不難發現有以下關系

月供等於本月所還利息和所還本金之和

Y = Yi(k) + Yp(k)

k-1期所剩本金減去k期所剩本金即本期所還本金：

Yp(k) = Pr(k-1) – Pr(k)

而本月所還利息是k-1期剩餘本金乘以月利率

Yi(k) = Pr(k-1) times{i}

帶入可得遞推公式（其中Pr(0)=P，可以理解為沒還款時剩餘本金就是P）

Pr(k) ={(1+i)} times {Pr(k-1)}- Y

可以得到（這裡懶得推到瞭，用待定系數+等比數列可以推到出來，需要一點高中數列知識）

Pr(k) ={(1+i)}^k times ({P-frac{Y}{i})}+frac{Y}{i}

Yi(k) =Y – {(1+i)}^{k-1} times (Y – {itimes{P})}

Yp(k) ={(1+i)}^{k-1} times (Y – {itimes{P})}

可以發現圖像是指數形的，前期償還利息比例較大，後期越來越小

總結一下計算公式

Y = frac{Ptimesleft( 1+i right)^{n}times i}{(1+i)^n -1}

S=frac{ntimes{P}timesleft( 1+i right)^{n}times i}{(1+i)^n -1}

I=frac{ntimes{P}timesleft( 1+i right)^{n}times i}{(1+i)^n -1}-P

Yi(k) =Y – {(1+i)}^{k-1} times (Y – {itimes{P})}

Yp(k) ={(1+i)}^{k-1} times (Y – {itimes{P})}

Pr(k) ={(1+i)}^k times ({P-frac{Y}{i})}+frac{Y}{i}

等額本金

說完瞭等額本息再來說說等額本金。等額本金的月供Y不是固定的，而每個月所還的本金Yp是固定的，即

Yp = frac{P}{n}

所以剩餘本金Pr(k)可以這麼計算

Pr(k) = P-frac{P}{n}times{k}

而本月所還利息是k-1期剩餘本金乘以月利率

Yi(k) = Pr(k-1) times{i} = itimes[P-frac{P}{n}times{(k-1)}]

所以得到月供

Y(k) = Yi(k) + Yp= itimes[P-frac{P}{n}times{(k-1)}]+frac{P}{n}

累加得到

S=sum_{k=1}^{n}{Y(k)}=Ptimes{i}timesleft( frac{n+1}{2} right)+P = 813935.83

I=Ptimes{i}timesleft( frac{n+1}{2} right) = 373935.83

可以用網上的房貸計算器驗證：

可以發現月供和每月所還利息是線性增加的

總結一下計算公式

Y(k) = itimes[P-frac{P}{n}times{(k-1)}]+frac{P}{n}

S=Ptimes{i}timesleft( frac{n+1}{2} right)+P

I=Ptimes{i}timesleft( frac{n+1}{2} right)

Yi(k) = itimes[P-frac{P}{n}times{(k-1)}]

Yp = frac{P}{n}

Pr(k) = P-frac{P}{n}times{k}

提前還款

假設我們在第m個月，提前多還瞭T的本金，則

月利率是不會變的：i
新的剩餘本金：P'
新的剩餘期數：n'
新的月供：Y’
剩餘還款總額：S’
節省還款： Delta{S}

我們還是分情況討論

等額本息情況

剩餘的本金

P' = Pr(m)-T = {(1+i)}^m times ({P-frac{Y}{i})}+frac{Y}{i} -T

根據上面推導的等額本息月供計算方式，剩下的部分也符合等額本息的公式

Y' = frac{P'timesleft( 1+i right)^{n'}times i}{(1+i)^{n'} -1}

S’=frac{n'times{P'}timesleft( 1+i right)^{n'}times i}{(1+i)^{n'} -1}

其實這時候也有兩種處理方法

方案1：減少剩餘月供Y’但保持剩餘期數n'=n-m

則有

Y' = frac{P'timesleft( 1+i right)^{n-m}times i}{(1+i)^{n-m} -1}

S’=frac{n'times{P'}timesleft( 1+i right)^{n-m}times i}{(1+i)^{n-m} -1}

Delta{S}=S-mtimes{Y}-T-S'

公式比較復雜，但是我們可以畫出Delta{S}和m、T的關系圖

等額本息減少月供的提前還款方式

圖中縱軸為節省還款Delta{S}（單位萬元），橫軸為提前還款金額T（單位萬元，註意這裡每條曲線T的取值范圍是(0, Pr(m)]，因為不可能超過剩餘本金），不同顏色的曲線表示提前還款的月份m（單位期）。從圖中可以得出以下結論

無論什麼時候提前還款，Delta{S}一定是正的，即一定會減少總還款；但是m越大，Delta{S}越小，所以越到後面提前還款意義越小
Delta{S}與T是成正比，相同時間，提前還款越多，減少還款越多

方案2：保持月供Y’=Y但是縮短剩餘期數n'

則有

Y = frac{P'timesleft( 1+i right)^{n'}times i}{(1+i)^{n'} -1}

n'=frac{log(Y/(Y-P'times{i}))}{log(1+i)}

S’=n'times{Y}

Delta{S}=S-mtimes{Y}-T-S' = (n-m-n')times{Y}-T

同樣畫出畫出Delta{S}和T、m的關系圖

等額本息減少還款期限的提前還款方式

對比方案1，可以發現曲線的整體趨勢是一致的，區別在於方案2的曲線是上凸的，也就是說相同的m、T，方案2節省還款更多，但代價是每月還的錢更多

等額本金情況

剩餘的本金

P' = Pr(m)-T = P-frac{P}{n}times{m} -T

方案1：減少剩餘月供中本金部分Yp’但保持剩餘期數n'=n-m

則有

Yp’ = frac{P'}{n-m}

所以新的月供（其中的k'是從m月後重新計算的，范圍[1, n']）

Y’(k') = itimes[P’-frac{P'}{n-m}times{(k'-1)}]+frac{P'}{n-m}

S'=sum_{k=1}^{n-m}{Y'(k')}=P'times{i}timesleft( frac{n-m+1}{2} right)+P'

Delta{S}=S-sum_{k=1}^{m}{Y(k)}-T-S'

畫出畫出Delta{S}和T、m的關系圖

等額本金減少月供的提前還款方式

曲線形狀與結論和等額本息類似，不做贅述

方案2：保持月供中本金部分Yp’=Yp但是縮短剩餘期數n'

則有

Yp’ = Yp = frac{P'}{n'}

得到

n’ = frac{P'}{Yp } = frac{P'}{P} times{n}

Y’(k') = itimes[P’-frac{P'}{n'}times{(k'-1)}]+frac{P'}{n'}

S'=sum_{k=1}^{n'}{Y'(k')}=P'times{i}timesleft( frac{n'+1}{2} right)+P'