點集拓撲學|9. 同胚

在點集拓撲學中,同胚一直是一個存在感極強的空間性質。一方面,它定義瞭一種被我們稱作拓撲性質的空間性質(我將在下文詳細介紹);另一方面,這種性質在拓撲空間中的表現也十分有趣。

定義:同胚映射

使 (X, mathcal T_X)(Y, mathcal T_Y) 為兩個拓撲空間,並且使 f:(X, mathcal T_X) to (Y, mathcal T_Y)f 被稱為這兩個空間之間的同胚映射(homeomorphism)當且僅當

  • f 是一個雙射;
  • f 是連續的;
  • f^{-1} 是連續的。

定義:同胚

我們稱兩個拓撲空間 (X, mathcal T_X)(Y, mathcal T_Y) 是同胚的(homeomorphic),或說是拓撲同構的(topological isomorphic),記作 X cong Y,當且僅當這兩個空間之間存在一個同胚 f


命題 1

同胚是一個等價關系。

證明:設 (X, mathcal T_X)(Y, mathcal T_Y) 以及 (Z, mathcal T_Z) 為三個拓撲空間。

同胚是一個自反關系,因為任何拓撲空間都與其自身同胚。

同胚是一個對稱關系。f:X to Y 是一個同胚映射,當且僅當 f^{-1}:X to Y 同樣是一個同胚映射;因此,X cong Y 當且僅當 Y cong X

同胚是一個傳遞關系。如果 f: X to Y 是一個同胚映射,而 g: Y to Z 是一個同胚映射,那麼,根據雙射以及函數的連續性的性質,fcirc g: X to Z 同樣是一個同胚映射。

綜上所述,f 是一個等價關系。

Q.E.D.


根據上述定義的條件,嚴格意義上來說,一旦對於某個 A subseteq (X, mathcal T_X) 和某個 B subseteq (Y, mathcal T_Y),我們說集合 AB 是同胚的,即 A cong B,實際上所表達的是 (X, mathcal T_X) 的子空間 (A, mathcal T_{X_A})(Y, mathcal T_Y) 的子空間 (B, mathcal T_{Y_B}) 之間的同胚關系。總之,需要記住的是,同胚是一種拓撲空間之間的關系,而非單純的集合之間的關系。隻有當上下文中關於集合所裝備的拓撲不會發生歧義時,我們才會簡化我們的語言風格。


例 1

使 X 為任意集合,使 mathcal Tmathcal T' 分別為 X 上的兩個拓撲。(X, mathcal T) 顯然與 (X, mathcal T) 其自身是同胚的,但是 (X, mathcal T)(X, mathcal T') 卻未必如此。例如,當 mathcal T 是一個非離散拓撲而 mathcal T' 卻不是,那麼,任何從 (X, mathcal T)(X, mathcal T') 的映射都不是連續的,因此 (X, mathcal T)(X, mathcal T') 並不是同胚的。


例 2

在歐幾裡得度量空間 (mathbb R, rho) 中,任何開區間都是同胚的。例如,該空間中的開區間 (0,1)(1, infty) 就是同胚的,因為,我們至少可以找到兩者之間的同胚映射

f: mathbb R_{(0,1)} to mathbb R_{(1, infty)} : x mapsto frac{1}{x}. \

類似地,我們也不難發現,在該空間中,任何閉區間都是同胚的,並且,任何半開區間不僅與同類之間是同胚的,並且,也與任何半閉區間之間是同坯的。

但是,該空間中的任何開區間都不與任何閉區間、半開區間,以及半閉區間同胚。

假設存在 (a,b],(c,d) subseteq mathbb R 滿足 (a,b] cong (c,d),那麼一定存在一個它們之間的同胚映射 ff 是滿射且連續的,因此,fb 處一定是連續的。也就是說,對於任何 varepsilon in mathbb R_{> 0},都存在 delta in mathbb R_{>0},使得對於任何 x in (b-delta ,b]f(x) in (d – varepsilon, d)。但是,由於 (d- varepsilon, d) 是一個開區間,因此,我們顯然可以找到一個 q in (f(x), d),因此,f 不可能同時是滿射又是連續的。


從上面一則例子中,我們其實能夠感受到,兩個空間之間的同胚,其實可以被看作一個空間是否可以形變為另一個空間的可能性。當然,由於同胚映射的定義,這種形變是需要滿足一些條件的。其中最著名的直觀條件或許就是:如果一個空間是有洞的,那麼它通過一個同胚映射稱為另一個空間之後,這個洞依然是保留的。其中的一個著名案例便是“甜甜圈和杯子”。

圖中,甜甜圈和杯子都有一個洞,因此不管在任何同胚映射下,當一個杯子變成任何另一個東西之後,這個洞依然會保留。


例 3

使 (I, rho)(X, rho') 為兩個歐幾裡得度量空間,其中 I = mathbb R_{[0,1)}X = mathbb R^n;對於任何 alpha,使 f_alpha : I to X 為一個連續的單射,並且是分段光滑的。對於任何 beta, gammaf_beta [I] cong f_gamma [I] 都是同胚的。

為瞭直觀理解,我們使這裡的 mathbb R^n = mathbb R^3

在這個三維空間內,如果一個映射 f_alpha 滿足第一個條件,則表現為一條封閉的曲線;如果滿足第二個條件,則表現為一條開放的曲線,並且不包含它的其中一處末端。

現在,讓我們更改一下條件,使 I = mathbb R_{[0,1]},並且對於任何 alphaf_alpha : I to X 依然是一個連續且分段光滑的單射。此時,對於任何 alphaf_alpha[I] 都是一條包含其兩個端點的開放曲線,因此,對於任何 beta, gammaf_{beta}[I] cong f_{gamma}[I]。但是,任何 X 中的封閉曲線都不與 f_alpha [I] 同胚,因為,僅需通過 X = mathbb R^3 進行直觀的想象,我們就會發現,將一個封閉曲線切成一條開放的曲線之後,該曲線之包含它的其中一個端點。


例 4

使 (mathbb R^n, mathcal T) 為一個豪斯多夫空間,使 S^{n-1} 為該空間內的 n-1-維球面,即

S^{n-1} = left{ x in mathbb R^n : rho(o,x) = r, o in mathbb R^{n}, r in mathbb R right}, \

其中 rhomathbb R^n 上的歐幾裡得度量。對於任何 x in S^{n-1},使

begin{aligned} U in left{ S^{n-1} setminus overline B_rho (x, varepsilon) , S^{n-1} setminus {x} right}, \ V in left{ S^{n-1} setminus B_rho (x, varepsilon) , S^{n-1} setminus {x} right}, end{aligned} \

其中

0 < varepsilon < max_{x,y in S^{n-1}} rho(x,y). \

由此,U cong mathbb R^{n-1}V cong overline{mathbb R}^n,而 S^{n-1} cong (mathbb R cup { infty })^{n-1}


例 5

使 X 為一個不可數集合,使 mathcal TX 上的離散拓撲。在 (X, mathcal T) 中,任何不可數集合都是同胚的。

證明:設 A, B subseteq X 為兩個不可數集合。(A, mathcal P(A))(B, mathcal P(B)) 顯然是 (X, mathcal T) 的子空間。首先,A,B 之間一定存在雙射 f: A to B,因為 |A| = |B|。其次,ff^{-1} 一定都是連續的,因為對於任何 U in mathcal P(B)f^{-1}[U] in mathcal P(A),並且對於任何 V in mathcal P(A)f[V] in mathcal P(B)。根據定義,fAB 之間的同胚映射,因此 A cong B

Q.E.D.


定義:拓撲性質

使 (X, mathcal T_X)(Y, mathcal T_Y) 為同胚的兩個空間。我們稱 (X, mathcal T_X) 的某一個性質是一個拓撲性質(topological property),當且僅當 (Y, mathcal T_Y) 具有相同的性質。


換言之,我們稱 (X, mathcal T_X) 的某一個性質是一個拓撲性質,當且僅當 (X, mathcal T_X) 的某種性質通過一個同胚映射 f 必然會被傳遞到 f[X] 上。

以下,我舉一些在過去我們遇到過的一些拓撲性質。


例 6

空間的勢是一個拓撲性質。使 (X, mathcal T_X)(Y, mathcal T_Y) 為兩個拓撲空間。如果 X cong Y,那麼 |X| = |Y|。因為如果 |X| < |Y|,那麼任何 f: X to Y 都不可能是滿射。

當然,上述這個關系是不能被顛倒的,除非 mathcal T_Xmathcal T_Y 是兩個離散拓撲。


例 7

空間上的拓撲的勢是一種拓撲性質。使 (X, mathcal T_X)(Y, mathcal T_Y) 為兩個拓撲空間。如果 X cong Y,那麼 |mathcal T_X| = |mathcal T_Y|

證明:對於任何同胚映射 f: X to Y,任何 U_Y in mathcal T_Y 一定與其在 f 下的原像 f^{-1}[U_Y] 是同胚的。現在,我們將(mathcal T_X, mathscr T_X)(mathcal T_Y, mathscr T_Y) 看作是兩個離散拓撲空間,並且定義

g : mathcal T_X to mathcal T_Y : U_X mapsto f[U_X], \

那麼,g 則是 mathcal T_Xmathcal T_Y 之間同胚映射,因此 mathcal T_X cong mathcal T_Y,因而 |mathcal T_X| = |mathcal T_Y|

Q.E.D.


例 8

分離公理中的所有性質都是拓撲性質。例如,使 (X, mathcal T_X)(Y, mathcal T_Y) 為兩個拓撲空間。如果 X cong Y,並且 X 是一個豪斯多夫空間,那麼 Y 一定也是一個豪斯多夫空間。

證明:我們使 f: X to Y 為這兩個空間之間的同胚映射。即然,X 是一個豪斯多夫空間,那麼它一定是一個 T_1 空間,因此,任何單點集合在 X 中都是關閉的。由於 f^{-1} 是連續的,因此,對於任何 x in Xf[{x}]Y 中的一個閉集。由於 f 是一個單射,因此 f[{x}]Y 中的一個單點集合;而由於 f 是一個滿射,因此 f[X] = Y。因此,任何 Y 中的單點集合都是關閉的,因此 Y 同樣是一個 T_1 空間,因而 Y 同樣是一個 T_0 空間。

X 是一個豪斯多夫空間,因而也一個 R_1 空間。換言之,對於任何兩點 u, v in X,都存在 u 的領域滿足 v notin N_u。由於 f^{-1} 是連續的,因此 f[N_u] in mathcal T_Y。顯然 f[N_u]f(u) 的一個領域。即然 f 是一個雙射,那麼對於任何 x in N_uf(x) ne f(v);因此 f(v) notin f[N_u]。因而 Y 同樣是一個 R_1 空間。

即然 Y 即是 T_0 空間,又是 R_1 空間,那麼 Y 自然是一個豪斯多夫空間。

Q.E.D.

此外,即然豪斯多夫性質是一種拓撲性質,而所有豪斯多夫空間都是可度量化的,那麼,可度量化同樣是一種拓撲性質。


此外還存在許多拓撲性質,例如我們在前面遇到過的第一可數以及第二可數,而在以後我們會遇到的連通性以及緊致性亦然,對此我不做逐一列舉,因為其證明方法都是類似的。

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