高中數學物理方法16:特殊值法

高中數學物理方法16:特殊值法

有些題目,特別是選擇題,我們有時候並不需要完完全全去計算得到答案,

因為畢竟選擇題的答案就在四個選項之中,我們要做的是選出正確答案,而不是自己算出正確答案。

因為我們隻要“從中挑選”,所以我們可以充分利用選項的信息,以一種“驗證”的思維來解題,而不是“從頭開始”,這也是“特殊值法”的來源。

一個通用的結論必然也包含著特殊的情況。

好瞭,原理很簡單,運用特殊值法也比直接計算要容易很多,但是,即使兩位小夥伴都想到瞭用特殊值法來解題,還是會因為選擇的“特殊情況”不同,導致解題難易程度差距較大!

當然也有可能想不到“特殊情況”!

所以,即使采用瞭“特殊值法”這種簡單方法,還可以從“優中選優”,挑選簡便方法中的簡便方法。

那麼我們說一說“特殊值法”,有哪些特殊呢?

比如取極限,等於0或者等於無窮大。

比如取相等,讓幾個物理量相等。

比如取某個常數值,如等於1或2或3等。

事實上,我們取特殊值時,並不僅僅隻是數學上的特殊而已,有時候還會簡化題目本身所研究的物體狀態、物理模型或物理過程,比如將勻變速直線運動簡化為勻速運動等等,這些需要我們在具體題目中靈活嘗試。

當然,在實際考試中,還有一些題目因為知識點超綱瞭,導致我們隻能采用特殊值的方法來求解,若我們能夠通過“特殊值法”來求解,反過來說也不屬於嚴格意義上的超綱,畢竟這也是一種思維方法的考察。

下面,我們舉一些例子進行說明。

例1:一物體做勻加速直線運動,通過一段位移 Delta x 所用的時間為 t_1 ,緊接著通過下一段位移 Delta x 所用的時間為 t_2 。則物體運動的加速度為( )

A. frac{2Delta x(t_1-t_2)}{t_1t_2(t_1+t_2)}

B. frac{Delta x(t_1-t_2)}{t_1t_2(t_1+t_2)}

C. frac{2Delta x(t_1+t_2)}{t_1t_2(t_1-t_2)}

D. frac{Delta x(t_1+t_2)}{t_1t_2(t_1-t_2)}

解:這道題其實並不難的,但我們還是可以考慮用特殊值計算,

註意,上面我們已經講過瞭,取特殊值的同時也意味著物理狀態或物理過程的簡化,

比如,我們令 t_1=t_2,則該運動簡化為勻速直線運動,即 a=0 ,故可以先排除選項C和選項D。

然後,我們可以考慮一些特殊情況,比如令初速度為零,則 t_2=(sqrt2-1)t_1

代入選項A和選項B驗證一下,

則,在選項A中,化解得到,

a=frac{2Delta x(t_1-t_2)}{t_1t_2(t_1+t_2)}=frac{2Delta x(2-sqrt2)t_1}{(sqrt2-1)t_1^2sqrt2t_1}=frac{2Delta x}{t_1^2}

也就是, Delta x=frac{1}{2}at_1^2 ,滿足初速度為零的勻加速直線運動規律,

所以選項A正確。

但似乎並沒有簡單多少哈!

但是排除選項C和選項D的方法還是有點用的哈!

反正當做一種方法吧!

例2:如圖,一不可伸長的輕質細繩跨過滑輪後,兩端分別懸掛質量為 m_1m_2 的物體A和B,若滑輪有一定大小,質量為 M 且分佈均勻,滑輪轉動時與繩之間無相對滑動,不計滑輪與軸之間的摩擦。設細繩對A和B的拉力大小分別為 T_1T_2 ,已知下列四個關於 T_1 的表達式中有一個是正確的,請你根據所學的物理知識,通過一定的分析,判斷正確的表達式是( )

A. T_1=frac{(M+2m_2)m_1g}{M+2(m_1+m_2)}

B. T_1=frac{(M+2m_2)m_1g}{M+4(m_1+m_2)}

C. T_1=frac{(M+4m_2)m_1g}{M+2(m_1+m_2)}

D. T_1=frac{(M+4m_2)m_1g}{M+4(m_1+m_2)}

解法1:這道題目如果要完完整整算出來,是屬於超綱的,因為滑輪有質量是屬於剛體的范疇瞭,小夥伴們感興趣的話,下次可以專門講一講的。

所以,為瞭避免這種超綱的情況出現,我們可以假設 M=0 ,這樣就不超綱瞭,

M=0 時,該題可以運用“曲線坐標+內力公式”快速得到答案,

T_1=T_2=frac{m_1cdot m_2g+m_2cdot m_1g}{m_1+m_2}=frac{2m_1m_2g}{m_1+m_2}

如果初次看我文章的小夥伴們,或者不理解“曲線坐標+內力公式”秒解方法的,可以看文章“袁野:專題薈萃:曲線坐標系中的牛二定律,一種特殊的整體法”自學一下哈,

當然也可以用隔離法對 m_1m_2 單獨受力分析,

然後將 M=0 代入四個選項驗證,選項C符合,故答案為選項C。

解法2:上面的做法中,令滑輪質量 M=0 ,將一個超綱的剛體問題變成瞭不超綱的質點問題,還是符合之前說的,取特殊值可以簡化物體模型。

但這並不是最好的“特殊值法”,我們還可以有更好的方法,

比如令 m_1=m_2=m ,這樣 m_1m_2 就靜止瞭,我們就把一個運動的物理過程變成瞭一個靜止的狀態,所以此時 T_1=mg

當然在實操的時候,我們可以更加“不要臉”一點,比如直接令 m_1=m_2=M=1 ,隻有選項C等於 10 ,故答案為選項C。

例3:如圖所示,在光滑的水平面上有一質量為 M 、傾角為 θ 的光滑斜面體,它的斜面上有一質量為 m 的物塊沿斜面下滑。關於物塊下滑過程中對斜面壓力大小的解答,有如下四個表達式。要判斷這四個表達式是否合理,你可以不必進行復雜的計算,而根據所學的物理知識和物理方法進行分析,從而判斷解的合理性或正確性,根據你的判斷,下述表達式中可能正確的是( )

A. frac{Mmgsinθ}{M-msin^2θ}

B. frac{Mmgsinθ}{M+msin^2θ}

C. frac{Mmgcosθ}{M-msin^2θ}

D. frac{Mmgcosθ}{M+msin^2θ}

解:這道題也是超綱的,所以我們考慮特殊情況,

物塊對斜面的壓力記為 N

比如, θ=0° ,則 N=mg ,選項A和選項B錯誤,

比如, θ=90° ,則 N=0 ,選項A和選項B錯誤,

比如, M>>m ,則 M 靜止不動,則 N=mgcosθ ,選項A和選項B錯誤,

所以好像隻能排除選項A和選項B,應該從選項C和選項D中選哪一個,好像還是判斷不出來吧,

小夥伴們先自己思考一下,其實特別簡單的哈!

……

我要開始講瞭,

比如,對於C選項中,令 M=mθne0°θne90° ,則,

N=frac{Mmgcosθ}{M-msin^2θ}=frac{mcdot mgcosθ}{m-msin^2θ}=frac{mg}{cosθ}>mg

明顯不合理,故選項C錯誤。

比如,對於C選項中,令 M<<mθne0°θne90°

則可能出現 M-msin^2θ<0 ,即 N<0

相當不合理,故選項C錯誤。

所以本題答案為選項D。

關於這道題目的更加深入細致的講解,我在文章“袁野:袁講經典20:一個更加復雜的斜面問題(2)”中有介紹,

特別是對“M<<m”的特殊情形做瞭詳細分析,小夥伴們也可以自己想一想,

比如,我們以選項D來驗證一下“M<<m”的特殊情形,

我們在選項D中分子分母同時除以 m ,再令 frac{M}{m}=0 ,得到,

N=frac{Mmgcosθ}{M+msin^2θ}=frac{Mgcosθ}{frac{M}{m}+sin^2θ}=frac{Mgcosθ}{sin^2θ}

小夥伴們能夠直接得到這種特殊情形下的壓力大小嗎?想不明白的話可以看一看這篇文章“袁野:袁講經典20:一個更加復雜的斜面問題(2)”喲!

好瞭,今天就講到這裡吧!

小夥伴們,咱們下期再見啦!

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附:文章提到的相關閱讀文章及相似文章

1.袁野:專題薈萃:曲線坐標系中的牛二定律,一種特殊的整體法

2.袁野:袁講經典20:一個更加復雜的斜面問題(2)

3.袁野:袁講經典6:一個更加復雜的斜面問題

4.袁野:內力公式

5.袁野:內力公式(2),補充一點應用

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