高數下-知識總結(第二版)

高數下_知識總結

主要是關於高等數學第七版上冊第七章以及下冊八到十二章,共計六章。 內容主要包括微分方程、向量代數、多元函數微分、重積分、曲線積分與曲面積分以及無窮級數。 高數下期末復習

《高等數學》 同濟大學數學系編 高等教育出版社


[TOC]

  1. 第七章、微分方程
  2. 第八章、向量代數與空間解析幾何
  3. 第九章、多元函數微分法及其應用
  4. 第十章、重積分
  5. 第十一章、曲線積分與曲面積分
  6. 第十二章、無窮級數

微分方程

  • 齊次線性微分方程的通解
  • 一階線性微分方程的通解 對形如 y'+P(x)y=Q(x) 的方程的通解: y=ce^{-int P(x)dx}+e^{int{P(x)}d(x)}int Q(x)e^{int P(x)d(x)}d(x)
  • 常數變易法(~~暫時沒用上~~)
  • 二階常系數齊次線性微分方程的通解

對形如 y''+ay'+by=0 的方程求解的步驟:

  1. 先求微分方程的特征方程的解: ar^2+br+c=0 解得r_1、r_2, 其中:
  • 兩者不相等: y=c_1 e^{r_{1}x}+c_2 e^{r_{2}x}
  • 兩者相等: y=(c_1+c_2x)e^{rx}
  • 求得的解為負根: y=e^{alpha x}[c_1cosbeta x+c_2sinbeta x] 其中,alpha=-frac{b} {2a},beta =frac{sqrt {4ac-b^2}}{2a}

向量代數與空間解析幾何

  • 平面的點法式方程
  • 直線的對稱式方程
  • 旋轉曲面
  • 二次曲面

多元函數微分法及其應用

  • 多元函數的極限
  • 計算多元復函數的偏導、全微分(包括隱函數、抽象函數的高階偏導)
  • 空間曲線在某點的切線方程以及法平面的方程
  • 方向導數與梯度的計算
  • 多元函數的極值的判斷及其計算

重積分

  • 二重積分的計算法則
  • 直角坐標與極坐標的計算方式
  • 更換二次積分的順序
  • 三重積分的計算
  • 無論是先一後二還是先二後一,其核心思想都是將重積分化為定積分來計算。

曲線積分與曲面積分

  • 對弧長積分的計算
  • ~~這個考點我似乎還沒有遇上,或者說對其沒有特別大的印象。~~
  • 兩類曲線積分的聯系
  • ~~這個我也沒有太大的印象。~~
  • 格林公式及其應用
  • Green公式是高斯公式的一種細分情況
  • 判斷曲線積分與路徑無關的條件
  • 計算不是閉合曲線的二重曲線積分 計算二重積分的兩種方式是:通過Green公式計算或直接計算 y=e^{alpha x}[c_1cosbeta x+c_2sinbeta x] 其中,alpha=-frac{b} {2a},beta =frac{sqrt {4ac-b^2}}{2a}
  • 一重曲面積分的計算
  • 二重曲面積分的計算
  • 高斯公式

無窮級數

  • 常見的函數級數的收斂性

比較審斂法、根植審斂法、比值審斂法

ρ=1/R,ρ小於1收斂,ρ大於1發散。

  • 判斷常數項級數的絕對收斂或條件收斂
  • 求冪級數的收斂區間與收斂域

註意收斂區間是開區間,收斂域是在收斂區間的基礎之上在端點進行判斷的范圍

  • 冪級數求和函數
  • 簡單函數轉化為冪級數

附錄

高數微積分公式大全

微分公式大全

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