在學習完數項級數(每一項都是確定的數字)及其審斂法後，我們開始學習含有未知數的級數，通常稱為函數級數，而這裡我們介紹的是冪級數(Power series)及其斂散性的判斷。
型如：
sum_{n=0}^{infty} a_{n} x^{n}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+cdots+a_{n} x^{n}+cdots
稱為以 x=0 處展開的冪級數；
sum_{n=0}^{infty} a_{n}(x-a)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+ldots+a_{n}(x-a)^{n}+ldots
稱為以 x=a 處展開的冪級數。
1.冪級數斂散的判斷
冪級數中含有未知數 x ,所以其斂散性一般受到 x 取值的影響，而且 x 取值的不同每一項的正負性也不一樣，所以這裡我們判斷斂散性時借助瞭數項級數絕對收斂(absolute converge)的性質：
如果級數 sum_{n=1}^{infty} u_{n} 通項的絕對值所構成的正項級數 sum_{n=1}^{infty}left|u_{n}right| 收斂，那麼原級數 sum_{n=1}^{infty} u_{n} 必定也是收斂的。因為 u_nleq |u_n| ，根據比較審斂法(Comparision test)，大斂小斂。
進一步，如果把冪級數的每一項都加瞭絕對值，那麼我們就可以仿照正項級數用比值法(Ratio test) lim_{nrightarrow infty} frac{u_{n+1}}{u_n} 來判定其斂散性瞭。
於是，對於冪級數我們先計算通項比極限 lim _{n rightarrow infty}left|frac{a_{n+1}}{a_{n}}cdot xright|=lambda 或lim _{n rightarrow infty}left|frac{a_{n+1}}{a_{n}}(x-a)right|=lambda
（1）當 0 leq lambda<1 時，冪級數收斂；
（2）當 lambda >1 時，冪級數發散；
（3）當 lambda=1 時，斂散性未定，需進行端點驗證。
2.冪級數收斂半徑和收斂區間
通過上述式子我們可以發現， lambda 其實是關於 x 的一個函數，而我們關心的是冪級數的收斂區間也就是 x 取什麼值時冪級數收斂，所以可以解一個關於 lambda(x)<1 的不等式。
在解這個不等式的過程中，我們會得到 |x|<r 或者 |x-c|<r ，那麼我們稱 r 為該冪級數的收斂半徑(Converge radius)。
那麼收斂區間該怎麼算呢？
其實很簡單，知道瞭收斂半徑，我們隻需要把 |x|=r 或 |x-c|=r 的值帶入原級數，判斷其端點值的斂散情況，那麼就知道 x 取哪些值的時候收斂。
下面我們通過兩道習題來打個樣：
詳解：
（a）
begin{aligned} lim _{n rightarrow infty}left|frac{u_{n+1}}{u_{n}}right| &=lim _{n rightarrow infty} frac{x^{2 n+2}}{2 n+2} cdot frac{2 n}{x^{2 n}} \ &=lim _{n rightarrow infty}left(frac{2 n}{2 n+2}right) x^{2}\ &=x^2 end{aligned}
於是， x^2<1Rightarrow |x|<1
收斂半徑為 1 ，接下去判斷端點值，
當 x=1 時，原級數變為 sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1} frac{1}{2 n} ，根據交錯級數審斂法，該級數收斂；
當 x=-1 時，原級數變為 sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n+1} frac{1}{2 n} ，同理，該級數收斂。
於是，原級數的收斂區間為 [-1,1] 。
（b）
begin{aligned} lim _{n rightarrow infty}left|frac{u_{n+1}}{n_{n}}right| &=lim _{n rightarrow infty} frac{|10 x|^{n+1}}{(n+1) !} cdot frac{n !}{|10 x|^{n}} \ &=lim _{n rightarrow infty} frac{|10 x|}{n+1}=0 end{aligned}
於是，原級數對於所有的 x 都收斂。
3.總結及註意點
綜上，我們可以發現計算冪級數的收斂半徑或者收斂區間其實就是解 lim _{n rightarrow infty}left|frac{u_{n+1}}{n_{n}}right|<1 這樣一個不等式。
這裡還有一個註意點：對冪級數的每一項進行求導和積分，得到的新級數收斂半徑與原級數一樣，但是收斂區間會不一樣。
這裡我們通過一道Barron題來看一下：
詳解：
這裡我們先寫出 f(x)=sum _{n=1}^{infty} frac{(x-1)^n}{n^2} ，那麼 f'(x)=sum_{n=1}^{infty} frac{(x-1)^{n-1}}{n}
接下去我們計算一下 f'(x) 與 f(x) 的收斂半徑及收斂區間：
首先考慮 f'(x)
begin{aligned} lim _{n rightarrow infty}left|frac{u_{n+1}}{n_{n}}right| &=lim _{n rightarrow infty}left|frac{frac{(x-1)^n}{n+1}}{frac{(x-1)^{n-1}}{n}}right|\&=|x-1|<1 end{aligned}
於是收斂區間為 1 ， 0<x<2 接下去帶入端點值
當 x=2 時， sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} ，發散；
當 x=0 時， sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n} ，根據交錯級數審斂法，收斂。
綜上， f'(x) 的收斂半徑為1，收斂區間為 [0,2) 。
接下去考慮 f(x)
begin{aligned} lim _{n rightarrow infty}left|frac{u_{n+1}}{n_{n}}right| &=lim _{n rightarrow infty}left|frac{frac{(x-1)^{n+1}}{(n+1)^2}}{frac{(x-1)^n}{n^2}}right|\&=|x-1|<1 end{aligned}
於是，收斂區間為1， 0<x<2 接下去帶入端點值
當 x=2 時， sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} ，收斂；
當 x=0 時， sum_{n=1}^{infty} frac{(-1)^n}{n^2} ，根據交錯級數審斂法，收斂。
綜上， f(x) 的收斂半徑為1，收斂區間為 [0,2] 。
於是，我們就可以發現 f'(x) 與 f(x) 收斂半徑相同，但是收斂區間不同。
其實，我們發現冪級數的收斂半徑與區間還是比較容易的，就是算一個極限解一個不等式就可以瞭，大傢會算極限、熟悉數項級數審斂法就可以瞭。
今年AP微積分BC改成45分鐘簡答題瞭，這部分大傢還是要重視一下，因為考察瞭冪級數其實也同時考察瞭數項級數，因為端點值的斂散判斷就是數項級數的判斷。
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