微積分:九、曲線積分與曲面積分

本文並非對微積分學進行專業的介紹,而是學習計算機圖形學的數學筆記,主要參考華東師范大學《數學分析》第四版,在內容上有所取舍。

1 曲面與曲線積分

在物理學中,會應用到兩類非常重要的積分,叫做曲線和曲面積分:

  • 第一型曲線積分
  • 第一型曲面積分
  • 第二型曲線積分
  • 第二型曲面積分

這裡的“第一型”指的是這裡的曲線積分和曲面積分有相同的物理意義 —— 已知密度分佈函數,求質量。“第二型”相對復雜一點,涉及到向量乘法。理解曲面和曲線積分的最好方式就是通過它的應用:全面解析最美物理公式:麥克斯韋方程組。

1.1 第一型曲線積分的

第一型曲線積分要解決的問題的是空間中任意一條曲線 L ,其密度是關於坐標的函數 f(x,y) ,我們希望知道這條曲線的質量 m 。根據積分學“分割,近似,求極限”的基本思想,得到第一型曲線積分的定義。

分割:先將曲線分割成 n 個可求長度的小曲線段 Delta s_i ,任取小曲線段中任意一點 P_i 去采樣曲線的密度分佈函數,得到該點的密度 f(xi_i,eta_i)

近似:我們將該密度認為是小曲線段的平均密度。那麼整個曲線的密度近似為:

m approx sum^{n}_{i=1}f(xi_i,eta_i)Delta s_i

求極限:當劃分的精度越來細, nto infty, ||T||=max Delta x_i to 0 ,若極限:

lim_{||T|| to 0}sum^{n}_{i=1} f(x_i, y_i)Delta s_i = J

存在,,則曲線的質量 m = J 。此極限就是 f(x,y)L 上的第一型曲線積分。準確的記為:

int_{L} f(x,y) ds = lim_{lambda to 0} sum^{n}_{i=1} f(xi_i, eta_i)Delta s_i

其中: L 被積曲線,f 被積函數, ds 弧微分。

第一型曲線積分的計算:設光滑曲線:

L:left{begin{array}{l} x=varphi(t), quad t in[alpha, beta] \ y=psi(t) end{array}right.

函數 f(x,y) 為定義在 L 上的連續函數,則:

int_{L} f(x, y) mathrm{d} s=int_{alpha}^{beta} f(varphi(t), psi(t)) sqrt{varphi^{prime 2}(t)+psi^{prime 2}(t)} mathrm{d} t

該定理將第一類曲線積分轉化為定積分計算。

1.2 第一型曲面積分

和第一型曲線積分類似,第一型曲面積分要解決的問題是空間中任意一個曲面 S ,其密度也是關於坐標的函數 f(x,y,z) 。把區域分成 n 份,每份的面積是 Delta S_i 。當 nto infty||T|| = max _{1le i le n}{Delta S_i 的直徑}to 0 時,若極限:

lim_{||T|| to 0}sum^{n}_{i=1} f(x_i, y_i, z_i)Delta S_i = J

存在,則曲面質量 m = J 。此極限就是 f(x,y,z)S 上的第一型曲面積分。準確的記為:

iintlimits_{S} f(x,y,z) dS

第一型曲面積分的計算:設有光滑曲面 S:z = z(x,y), (x,y)in Df(x,y,z)S 上的連續函數,則:

iint_S f(x,y,z)dS = iint_Df(x,y,z(x,y))sqrt{1+z_x^2 + z_y^2}dxdy

1.3 第二型曲線積分

我們知道一元函數的定積分的物理運用是計算物體受變力作用做直線運動的功。第二型曲線積分的物理運用是計算物體受變力作用做曲線運動的功。:一個物體受到一個力 vec{F} 做曲線運動,這裡的運動軌跡是有向曲線 stackrelfrown{AB} ,力 vec{F} 是關於坐標的函數 vec{F}(x, y) ,求力 vec{F} 所做的功。之所以強調是有向軌跡,是因為力可能做正功,也可能做負功。

分割:我們將有向曲線 stackrelfrown{AB} 劃分為 n 個有向弧段 stackrelfrown{M_{i-1}M_i} (i=1,2,…,n) ,我們用小弧段中任意一點 (x_i, y_i) 去采樣 vec{F}(x_i,y_i) 函數得到力 vec{F}(x_i,y_i)

近似:我們近似用向量 vec{M_{i-1}M_i} 代替有向弧段 stackrelfrown{M_{i-1}M_i}vec{F}(x_i,y_i) 近似為該弧段的平均受力,那麼 vec{F} 所做的功 W 近似為:

W approx sum^{n}_{i=1} vec{F_i} cdot vec{M_{i-1}M_i}

求極限:如果劃分的小弧段越來越小, nto infty, ||T||=max||vec{M_{i-1}M_i}|| to 0 ,若極限:

lim_{||T||to 0} sum^{n}_{i=1} vec{F}(x_i, y_i) cdot vec{M_{i-1}M_i} = J

存在,則做功 W = J 。此極限就是函數 vec{F}(x,y) 沿有向曲線 stackrelfrown{AB} 的第二型曲線積分。準確的記為:

int_{stackrelfrown{AB}} vec{F} cdot vec{ds} = lim_{||T||to 0} sum^{n}_{i=1} vec{F}(x_i, y_i) cdot vec{M_{i-1}M_i}

其中:

  • stackrelfrown{AB} 被積曲線
  • vec{F} 被積函數
  • vec{ds} 有向弧微分

根據向量點乘的定義,二型曲線積分常常寫成分量乘法的形式:

int_{stackrelfrown{AB}} vec{F} cdot vec{ds} = int_{stackrelfrown{AB}} P(x,y) dx + Q(x,y) dy

  • P(x, y), Q(x, y) 分別是 vec{F}(x, y) 在 x 軸與 y 軸的投影,也即 vec{F}(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))
  • vec{ds} = (dx, dy)

stackrelfrown{AB} = L 是封閉的有向曲線,則記為:

oint_{L^{+}} vec{F} cdot vec{ds} = oint_{L^{+}} P(x,y) dx + Q(x,y)dy

第二型曲線積分的計算:和第一型曲線積分的計算類似,將二元函數寫成參數形式

L:left{begin{array}{l} x=varphi(t), quad t in[alpha, beta] \ y=psi(t) end{array}right.

其中 varphi(t)psi(t)[alpha, beta] 上具有一階連續導函數,且點 AB 的坐標分別為 (varphi(alpha),psi(alpha)), (varphi(beta), psi(beta)) 。又設 P(x,y)Q(x,y)L 上的連續函數,則沿 LAB 的第二型曲線積分:

int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy = int^{beta}_{alpha}[P(varphi(t), psi(t))varphi^{prime}(t) + Q(varphi(t), psi(t))psi^{prime}(t)]dt

1.3.1 格林公式

格林公式提供瞭一種計算封閉的有向曲線的第二型曲線積分的方式。此外還揭示瞭第二型曲線積分與二重積分的聯系。

定理(格林公式):若函數 P(x,y), Q(x,y) 在閉區域 D 上連續,且有連續的一階偏導數,則有:

iint_D(frac{partial Q}{partial x} – frac{partial P}{partial y}) dxdy = oint_{L^{+}} P dx + Q dy

證明:區域 D 一般可分為三種情況:

  1. D 是單連通區域,且既是 x 型區域又是 y 型區域,如下圖 D_1
  2. D 是一般的單連通區域,可分為有限個既是 x 型又是 y 型的子區域 ,如下圖 D_2
  3. D 是復聯通區域,通過連接內外邊界,可分為有限個單連通區域,如下圖 D_3, D_4

對於第 1 種情況,此時區域 D 可表示為:

varphi_1(x) le y le varphi_2(x), ale xle b\ psi_i(y) le x le psi_2(y), alphale y le beta

這裡 y=varphi_1(x), y=varphi_2(x) 分別為曲線 stackrelfrown{ACB}, stackrelfrown{AEB} 的方程;而 x=psi_1(y), x=psi_2(y) 分別為曲線 stackrelfrown{CAE}, stackrelfrown{CBE} 的方程,如下圖

於是:

begin{aligned} iint_{D} frac{partial Q}{partial x} d sigma &=int_{alpha}^{beta} d y int_{psi_{1}(y)}^{psi_{2}(y)} frac{partial Q}{partial x} d x \ &=int_{alpha}^{beta} Qleft(psi_{2}(y), yright) mathrm{d} y-int_{a}^{beta} Qleft(psi_{1}(y), yright) mathrm{d} y \ &=int_{stackrelfrown{C B E}} Q(x, y) d y-int_{stackrelfrown{C A E}} Q(x, y) d y \ &=int_{stackrelfrown{C B E}} Q(x, y) d y+int_{stackrelfrown{EAC}} Q(x, y) d y \ &=oint_{L} Q(x, y) mathrm{d} y end{aligned}

同理可證:

-iint_Dfrac{partial P}{partial y}dsigma = oint_L P(x,y)dx

兩式相加,可得:

iint_D(frac{partial Q}{partial x} – frac{partial P}{partial y}) dxdy = oint_{L^{+}} P dx + Q dy

對於第 2 種情況,可用幾段光滑的曲線將 D 分成有限個有限個既是 x 型又是 y 型的子區域,然後逐塊按照情況 1 處理,然後相加,如下圖

於是:

begin{aligned} iint(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial x})dsigma&=iint_{D_{1}}left(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}right) d sigma+iint_{D_{2}}left(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}right) d sigma+iint_{D_3}left(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}right) d sigma \ &=oint_{L_1} P d x+Q d y+oint_{L_{2}} P d x+Q d y+oint_{L_{3}} P d x+Q d y \ &=oint_{L} P d x+Q d y end{aligned}

對於第 3 種情況,我們需要給復連通區域定義內外邊界的方向。對於區域的邊界線,通常這樣來規定其正方向:當觀察者沿著這個方向前進時,區域總是在觀察者的左側。所以我們才會看到下圖中內外邊界的方向相反。之所以這樣規定,是因為可以適當的添加直線,可將復連通區域分割成單連通區域,如下圖

對每塊區域按照第二種情況處理,然後相加,其中直線 L_0,L_1,L_2 會各沿著相反方向積分一次,那麼在最後相加之後就抵消瞭,於是:

begin{aligned} iint(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial x})dsigma&=(oint_{Gamma_1}+oint_{Gamma_2}+oint_{C_1}+oint_{C_2})(Pdx+Qdy)\ &=oint_LPdx+Qdy end{aligned}

上面是課本上對格林公式的證明,有關格林公式更直觀解釋參考知乎的問答:格林公式的幾何意義是什麼?通過格林公式,可以得到一個非常重要的結論 —— 曲線積分與路徑無關。

定理(曲線積分與路徑無關):設 D 是單連通閉區域。若函數 P(x,y), Q(x,y)D 內連續,且具有一階連續偏導數,沿 D 內任一按段光滑封閉曲線 L 有:

oint_LPdx + Qdy = 0

D 中任一按段光滑曲線 L ,曲線積分:

int_L Pdx + Qdy

與路徑無關,隻與 L 的起點與終點有關。

該定理非常重要,並且在復變函數積分學中也有重要應用,在一個單連通區域中,沿封閉曲線 stackrelfrown{ASBRA} 的第二型曲線積分為 0,也即

oint_{stackrelfrown{ASBRA}}Pdx + Qdy = 0

那麼

int_{stackrelfrown{ASB}}Pdx+Qdy = -int_{stackrelfrown{BRA}}Pdx+Qdy = int_{stackrelfrown{ARB}}Pdx+Qdy

所以單連通區域內,沿任意按段光滑曲線積分與路徑無關,隻與起點與終點有關。比如我們熟悉的重力做功,其隻與起點和終點有關,而與路徑無關。

1.4 第二型曲面積分

有向曲面和通量:在向量的內積與內積空間中介紹瞭有向平面的概念,更一般的,有向曲面的概念,輸入平面上任意一點,可以得到平面的法線 vec{N}(x,y,z) 。定義有向曲面的作用是為瞭計算流體通過一個曲面的通量,先考慮一個簡單的場景。一個均勻的流體,其中每一點的流速 vec{v} 相同,計算單位時間通過一個面積為 S 的平面的流量,其正向法線為 vec{N} 。那麼通量(Flux)就表示為:

Phi = S (vec{v} cdot vec{N})

從生活中我們也可以直觀感受到有向曲面與流量計算的關系。比如我們拿一個瓶子去接水,我們通過會讓瓶口與水流方向垂直,這樣才能在最短的時間內充滿空瓶。隨著瓶口與水流方向的夾角越來越大,接水消耗的時間也越來越常,當瓶口與水流方向平行時,我們永遠也不可能接滿水。另外,通過有向曲面,我麼可以解釋地球的四季變化。地球在繞太陽公轉時,太陽直射點在地球南北維 23 度 26 分之間往返移動。北半球夏季時,北半球的曲面法線與陽光方向夾角較小,單位面積的輻射通量較大,所以天氣較熱;而此時南半球正值冬季。當北半球冬季時,曲面法線與陽光方向夾角較大,單位面積的輻射通量較小,所以天氣寒冷;而此時南半球正值夏季。

第二型曲面積分:其物理意義就是計算任意有向曲面,任意流體的通量問題。一流體,其中任意一點的流速是關於坐標的函數 vec{v}(x, y, z) ,從一曲面 S 的負側流向正側。

分割:將曲面分成 n 份,每一份的面積是 Delta S_i (i=1,2,…,n) ,取該小面積中任意一點 (x_i, y_i, z_i) 采樣流體函數,得到該點的速度 vec{v}(x_i,y_i,z_i) ,該點的法線為 vec{N_i}(x_i,y_i,z_i)

近似:把該小曲面近似為平面,取該點的法線為平面的法線,流體速度為通過該小曲面的平均速度,那麼該曲面的通量近似為:

Phi approx sum^{n}_{i=1} vec{v}(x_i,y_i,z_i) cdot vec{N}(x_i,y_i,z_i) Delta S_i

求極限:當曲面劃分的越來越小, n to infty, ||T|| = max_{1le i le n}(Delta S_i 的直徑) to 0 ,如果極限

lim_{||T|| to 0} sum^{n}_{i=1} vec{v_i} cdot vec{N_i} Delta S_i = J

存在,則曲面通量 Phi = J 。此極限就是 vec{v}(x,y,z)S 上的第二型曲面積分。準確的記為:

iintlimits_{S} vec{v}(x,y,z) cdot vec{N}(x,y,z) dS

其中某點法線 vec{N_i} 也可表示為 (cosalpha_i, cosbeta_i, cosgamma_i) ,分別表示與 x, y, z 軸的夾角的餘弦。那麼 (cosalpha_i, cosbeta_i, cosgamma_i) dS_i = (dy_idz_i, dz_idx_i, dx_idy_i) 其中等號右邊每個分量表示微元面積 dS_ix = 0, y = 0, z = 0 平面的投影面積。

vec{v}(x,y,z) 也寫成沿坐標軸分解的形式 vec{v} = (P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)) 根據向量點乘,第二型曲面積分也常常寫成:

iintlimits_{S} P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy

特別的,若 S 是封閉曲面,那麼記成:

第二型曲面積分的計算:設 R 是定義在光滑曲面 S:z = z(x,y), (x,y)in D_{xy} 上的連續函數,以 S 的上側為正側(這時 S 的正向法線與 z 軸成銳角),則有:

iint_S R(x,y,z)dxdy = iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy

同理可得,當 P 在光滑曲面 S:x = x(y,z), (y,z)in D_{yz} 上連續時,有:

iint_S P(x,y,z)dydz = iint_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)dydz

這是 S 的正向法線與 x 軸的正向成銳角的那一側為正。

同理可得:

iint_S Q(x,y,z)dzdx = iint_{D_{zx}}P(x,y(z,x),z)dzdx

1.4.1 高斯公式

與格林公式類似,高斯公示刻畫瞭封閉曲面的第二型曲面積分與三重積分之間的關系。

定理(高斯公式):設空間區域 V 有分片光滑的雙側封閉曲面 S 圍成,若函數 P,Q,RV 上連續,且有一階連續偏導數,則:

由高斯公式的啟發,我們還可以得到格林公式的通量形式:

iint_D(frac{partial P}{partial x} + frac{partial Q}{partial y}) dsigma = oint_{L^{+}} P dy – Q dx = oint_{L^{+}} vec{F} cdot dvec{n}

說明: dvec{n} = (dy,-dx) ,那麼 dvec{n}cdot dvec{r} = (dy,-dx)cdot(dx,dy) = 0 ,所以 dvec{n}bot dvec{r}

1.4.2 斯托克斯公式

斯托克斯公式建立瞭沿雙側曲面 S 的第二型曲面積分與沿 S 的邊界的第二型曲線積分之間的聯系,斯托克斯公式也可以看成是格林公式在三維空間的推廣。

雙側曲面的正向,與封閉邊界的正向,可以由右手定則規定:如下一個雙側曲面,我們若用右手大拇指的方向為曲面正向,則剩餘四指握拳的方向即為邊界曲線的正向。這與判斷電流方向與磁場方向的安培定則一樣:

斯托克斯公式:設光滑曲面 S 的邊界 L 是按段光滑的連續曲線,若函數 P, Q, R S (連同 L )上連續,且有一階連續偏導數,則:

iint_{S}left(frac{partial R}{partial y}-frac{partial Q}{partial z}right) mathrm{d} y mathrm{~d} z+left(frac{partial P}{partial z}-frac{partial R}{partial x}right) mathrm{d} z mathrm{~d} x+left(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}right) mathrm{d} x mathrm{~d} y =oint_{L} P mathrm{~d} x+Q mathrm{~d} y+R mathrm{~d} z

其中 S 的側與 L 的方向按右手法則確定。


2 向量函數與場論初步

向量函數的定義:若 X subset R^n, Y subset R^mfX times Y 的一個子集,對每一個 xin X ,都有唯一的一個 y in Y 使得 (x,y)in f ,則稱 fXY 的向量函數,記作: f:X to Y

這裡的 X,Y 分別是 n 維和 m 維歐式空間的向量。 X times Y 稱為 X, Y 的直積 X times Y = {(x,y) | x in X, y in Y} subset R^{n+m}

如果 n = 2,m = 1 就是二元函數;如果 n = 1,m = 2 可以是曲線的參數方程;如果 n = 2,m = 3 可以是曲面的參數方程。對一個在定義域內可微分的二元函數求梯度,構成一個向量函數,其中, n=2,m=2

場(field):物理學中把某個物理量在空間的一個區域內的分佈稱為場。比如溫度在某一空間內的分佈稱為溫度場;密度在某一物體內的分佈稱為密度場;引力在空間的分佈就是引力場。場是一種抽象的物理概念,用程序語言描述,就是一個函數,輸入一個坐標,返回一個物理量。值得註意的是,場的性質是它自己的屬性,和坐標系的引進無關,引入坐標的目的是方便描述與計算。

物理上有兩種場:定常場和不定常場。顧名思義,定常場就是物理量隻隨空間位置變化;不定常場就是物理量不僅隨著空間位置變化,還隨著時間變化。在實際中,一般的場都是不定常的場,但為瞭研究方便,可以把在一段時間內物理量變化很小的場近似地看作定常場。

// 三維空間中的定常場
Quantity Field(x,y,z){
Quantity value;
...
return value;
}
// 三維空間的不定常場
Quantity Field(x,y,z,t){
Quantity value;
...
return value;
}

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