一、Markowitz Efficient Frontier 馬科維茨有效前沿
現代投資組合理論之父 Harry Markowitz 為瞭研究風險資產的投資，首先把市場上所有能找到的風險資產全部找出來，對於這些風險資產進行隨機組合，每個組合含有從 2個到成百上千的不等數量的證券。
然後，計算出這些投資組合的風險（用標準差 Standard Deviation 表示）以及預期回報，從而研究這些組合的風險和預期回報的關系。在做瞭成千上萬次模擬後，得到瞭如下分佈。
在這條曲線內部的風險和預期回報，是可以通過組合達到的。例如，我們可以找到一個組合，使得該組合的風險和預期回報處於 B點的位置。也可以找到一個投資組合，使得該組合的風險和預期回報處於 A點的位置。
但是，我們沒辦法找打一個投資組合，同時滿足 X點的風險和預期回報。
在所有的投資組合中，在相同的收益下，處於外延這條曲線上的投資組合是獲得最小風險的投資組合。這條線也被稱為最小方差前沿 Minimum-Variance Frontier。
例如，A點和 B點的收益差不多（在 Y軸的高度差不多），但是 A點的風險小於 B點（在 X軸的位置更靠左）。
在最小方差前沿這條線上，Z點是左右投資組合中，風險最小的，這個點被稱為全局最小方差組合 Global Minimum-Variance Portfolio。沒有任何的投資組合比這個組合風險更小。
繼續觀察這條最小方差前沿線，A點和 C點雖然都在最小方差前沿線上，而且風險差不多，但是A點的收益是高於 C點的，所以 Markowiz 把最小方差前沿在 Z點往下的部分去掉，把 Z點往上的部分留下，並稱之為有效前沿 Efficient Frontier。
有效前沿具有下面的性質，在相同的收益下，風險最小；在相同的風險下，收益最高。這條線後來也以 Markowitz 的名字命名，稱為 Markowizt's Efficient Frontier。
作為理性投資者，在投資風險資產的時候，應該根據自己對於風險和期望收益的要求，投資有效前沿上對應的投資組合。
二、Capital Allocation Line 資本配置線
由於 Markowizt 的 Efficient Frontier 僅僅考慮瞭風險資產，而沒有考慮無風險資產，William F. Sharpe 在 Markowizt 的基礎上，引入瞭無風險資產，把無風險資產 Rf，去和有效前沿上的資產組合進行重新組合，形成一個新的組合。
例如，有效前沿上的 A、P、X資產組合，僅僅包含風險資產，沒有無風險資產。Sharpe 做的事情是把無風險資產 Rf 和風險資產組合 A 再組合，形成一個新的組合。
我們把 A 和無風險資產組合所組成的新的組合，它的風險和回報所形成的一條線，被稱為資本配置線。如下圖中的 Rf-P 這條線以及 Rf-A 這條線。
學習資產配置線需要瞭解的兩個核心問題：
- 為什麼形成的資本配置線是一條射線？
- 在有效前沿上有無數個點，到底哪一個點和無風險資產組合後，效果最好？
為瞭解決這兩個問題，我們首先討論一下：如果兩個風險資產進行兩兩組合，形成的組合的風險和回報是什麼樣的？
假設現在有風險資產1 和風險資產2 進行組合。在組合中，風險資產1 的權重為 w1，風險資產2 的權重為 w2。則在該資產組合中有，w2 = 1 – w1。假設風險資產1 的回報為 R1，風險為標準差 σ1；風險資產2 的回報為 R2，風險為 σ2。其中，σ 表示總風險，包括系統風險和非系統風險。
上面的條件總結如下表：
風險資產 1 和 2 組合之後，形成新的投資組合 P，該組合的風險和收益符合下面的公式。
sigma_{P} = sqrt{w_{1}^{2}sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}sigma_{2}^{2}+2w_{1}w_{2}Cov(R_{1},R_{2})} ①
R_{P}=w_{1}R_{1}+(1-w_{1})R_{2} ②
下面討論，將無風險資產和有效前沿上的資產組合進行組合的情況。我們假設該有效前沿上的資產組合為 p，此時我們可以把這個投資組合看成是類似於一個風險資產。同時，我們將新的投資組合稱為 P。
此時我們有下面這些資產（組合）以及性質：
將資產（組合）p（小寫）和 f 的回報與風險帶入上面的 ①② 兩個公式可得：
sigma_{P} = w_{1}sigma_{p小寫} ③ （無風險資產和其他資產的協方差是 0）
R_{P}=R_{f}+(R_{p小寫}-R_{f})w_{1} ④
將 ③ 和 ④ 聯立，可以得到：
R_{P}=R_{f}+frac{(R_{p小寫}-R_{f})}{sigma_{p小寫}}times sigma_{P} ⑤
上面的⑤式的形式類似於 y=a+bx。
這也就說明瞭前面第一個問題“為什麼形成的資本配置線是一條射線？”。
如上圖，我們的新的投資組合 P，就是位於 Rf-P 這條射線之上。當 P 裡面全部是無風險資產的時候，就位於 Rf 的位置；當 P 裡面全部是風險資產投資組合的時候，就位於 P 的位置；當 P 裡面是無風險資產和風險資產投資組合的組合的時候，就位於 Rf-P 這個線段上，不包含端點。
特別地，PY 這條折線的部分（不包含 P點），代表借來無風險資產，賣出之後，把獲得的錢投入到風險資產裡面。例如，w2 = -0.5，w1 = 1.5。此時風險和回報進一步上升，但仍然服從這個線性關系。
下面我們再來研究一下斜率 b：
frac{(R_{p小寫}-R_{f})}{sigma_{p小寫}}
上面算式的結果，也就是下圖中的藍色線段的長度比上紅色線段的長度。
這個值一方面可以解釋為斜率，另一方面可以解釋為風險補償。也就是我承受的風險每增加一個單位的標準差 σ，我獲得的收益會增加多少。
那麼回到前面的第二個問題，“在有效前沿上有無數個點，到底哪一個點和無風險資產組合後，效果最好？”
答案是 Rf 到有效前沿的切線最好。在上圖中就是 P 點最好，因為這條線的斜率最大，也就是每單位的風險補償得最多。
我們把最優的風險資產投資組合跟無風險資產結合出來後，這條資本配置線是所有資本配置線中最優的。
三、Capital Market Line 資本市場線
資本市場線是一條特殊的資本配置線，是把整個市場作為一個有效組合和無風險資產進行組合之後的新的投資組合。
資本配置線是把所有的風險資產拿過來進行隨機組合，去找有效前沿，然後找到最優解。
資本市場線是以某個市場為基礎去研究的。例如，以美國納斯達克作為市場，去研究裡面的風險資產進行組合之後的風險以及預期的回報，然後得到一個有效前沿。
根據 Markowitz 的理論，如果我們隻投風險資產的話，應該投有效前沿上的組合。現在引入無風險資產之後，就可以把有效前沿上的投資組合與無風險資產進行結合，形成一條一條的線，也就是資本配置線。其中有一條線和有效前沿相切。這個切點是一個最優解，無風險資產和切點的連線被稱為資本市場線。
下圖中，M點代表整個證券市場所有的股票放在一起之後的組合。因為在有效市場假說中，在考慮風險和收益後，沒有人可以獲得超過市場的投資績效。所一說市場回報已經是最優的組合瞭。所以 M點被認為是整個市場的組合，這一條切線也被稱為資本市場線。
無風險資產 Risk Free Asset 和整個市場 Market 進行組合後，獲得的預期回報 E(RP)，等於
E(R_{P})=R_{f}+frac{(E(R_{m})-R_{f})}{sigma_{m}}times sigma_{P} ⑥
含義解釋為：
無風險收益率 + 每單位市場風險的補償 * 組合的風險
前面有說到，σ 表示總風險，包括系統風險和非系統風險。因為 M 是整個市場的組合，所以非系統風險由於充分的分散而消失，所以隻剩下系統風險。
所以在 ⑥ 式的中的斜率，指的實際上是承受每單位系統風險獲得的收益補償。在 ⑥ 式中的 X 部分，即 σP，由於是 M 和無風險資產的組合，所以也不包含非系統風險。
所以 ⑥ 式的含義進一步解釋為：
無風險收益率 + 每單位系統風險的補償 * 組合的系統風險
四、Capital Asset Pricing Model 資本資產定價模型
前面說瞭資本市場線，是把整個市場作為有效組合，和無風險資產進行組合之後的形成的新的投資組合。這個組合的預期回報滿足上面提到過的 ⑥ 式：
E(R_{P})=R_{f}+frac{(E(R_{m})-R_{f})}{sigma_{m}}times sigma_{P} ⑥
也就是無風險收益率+市場風險的單位補償*這個新的組合的風險。
在這個風險補償中，雖然用的是總風險 σm，但是由於持有整個市場所有的股票，所以非系統風險完全被分散瞭。所以它實際上是系統風險的單位補償。
William F. Sharpe 認為，如果能夠找到一個股票 i 的系統風險，然後乘以單位系統風險的收益補償，再加上無風險收益率，就可以求出這隻股票的 Ri 的預期回報。這裡的 Ri 實際上就是 Cost of Equity 權益成本。如下公式所示：
R_{i} = R_{f}+frac{R_{m}-R_{f}}{sigma_{m}}times 股票_{i}的系統風險 ⑦
那麼，如何求這隻股票的系統性風險？
先找出這支股票的總風險 σ，它含有系統風險和非系統風險，因為是單個股票，所以肯定含有非系統風險。系統風險是由於市場信息所導致的，因此我們可以觀察一下這隻股票的回報與整個市場的回報的相關性 ρim，因為大傢都是經過市場信息的作用所反映出來的收益變化信息。
這裡要明白一點，雖然每個公司都會承擔系統風險，但是每個公司的系統風險都是不一樣的。因為市場信息對於每個公司的影響是不一樣的。比如，政府除瞭一個消息說要治理環境，對於環境親和型的公司來說，就是一個好消息；而對於重污染公司來說可能就是壞消息；而對於整個市場來說可能是一個中性的消息。所以，每個公司的系統性風險是不一樣的。
這裡想要把總風險中的非系統風險剔除出去。
具體方法是，找到單個公司的回報 Ri 與整個市場 Rm 的相關系數 ρ，看看他們的關聯性。雖然市場的系統風險與個股的系統風險是不一樣的，市場的系統風險可以認為是所有股票平均的系統風險，但是他們都是由於同一個信息所導致的，所以會有一定的關聯。這裡的相關系數說的就是他們的關聯程度。
因為找到的回報同時包含瞭系統性因素和非系統性因素，整個市場隻有系統性因素（非系統性非分散掉瞭），相關系數 ρ 代表的就是裡面有多少個股的風險是跟整個市場相關聯的，所以我們把 ρim 乘以 i 股票的總風險，算出來就是這個股票 i 的系統風險。
因此，我們用
rho_{i,m}times sigma_{i}
來取代股票 i 的系統風險。此時，⑦ 式就變成瞭：
R_{i} = R_{f}+frac{R_{m}-R_{f}}{sigma_{m}}times rho_{i,m}times sigma_{i} ⑧
在 ⑧ 式中，
frac{rho_{i,m}times sigma_{i}}{sigma_{m}} ⑨
部分，被我們稱為 β。
我們常說的 β，實際上就是公司的系統風險，除以整個市場的系統風險（也是總風險）。如果 β = 1，說明市場向上漲 1%，個股也上漲 1%；如果 β = 2，說明市場向上漲 1%，個股上漲 2%，因為個體的系統風險是市場的兩倍；如果 β = 0，說明市場向上漲 1%，個股不變；如果 β = -1，說明市場向上漲 1%，個股下跌 1%，
在統計學中，將個股回報與市場回報做線性回歸，得到的直線的斜率。這個斜率就是 β 值。衡量的是市場與個股的波動的相關關系。從離散程度到一條直線，就是相關系數 ρ。
把 ⑧ 式重新寫一下就是 CAPM 的公式：
E(R_{i}) = R_{f}+beta_{i}[E(R_{m}) – R_{f}]
，其中 β = ⑨ 式。
如果已知 β 、市場的預計回報、無風險收益率，就可以得到股票的期望回報。
註意，在整個股票中，非系統風險是不能得到補償的，因為我們假設投資者會自行投資其他股票，會分散化風險。所以隻有系統風險會得到補償。
參考文獻
本文是對於 B站 up主“老金acca”講授的 “CAPM 資本資產定價模型”課程的學習筆記。原視頻講解的非常清楚，有興趣可以點開下面鏈接，去看原 up主的原視頻。
