自學固體物理學(黃昆)脈絡梳理(上)

最近埋頭鼓搗固體物理,好久沒有寫亂七八糟得東西瞭。如上篇文章我所提到的,固體物理的學習和基礎物理學科大不相同,總的來說,較難較寬,因此這一個月間我翻來覆去的把書看瞭三四遍,才稍微摸著點兒門。而且黃昆、韓汝琦的《固體物理學》,我讀來其實像是有意比較全面的介紹固體物理這門學科,所以有的時候令人難以適從,摸不準脈。也因此,我把握住這個時機,簡要回憶一下前七章的主要內容和脈絡,起到一點融會貫通的作用。

此篇文章是為瞭疏通我自己的思路和固體的主要脈絡,因而盡量不添加任何公式,賞光的讀者可以嘗試按照文中的意思再回憶一遍,以達到鞏固知識的作用。因為我這兩天晚上在聽雍正劍俠圖,可能行文就有些孟浪(就像電動力學筆記裡一直講佛經一樣)。

第一章 晶體結構

第一章和第二章是基礎章回。第一章主要講如何描述一個晶體,先是許多概念與數學表示方式,諸如晶格、格式、原胞、晶胞、基元、佈拉伐格子、倒格子、晶向、晶面、晶向指數、密勒指數還有一些晶格的實例(簡單立方面心立方等)。

而晶體之所以為晶體,是因為其有周期對稱性,集中體現在佈拉伐格子中。

此外,晶體還有宏觀對稱性,就有瞭什麼是正交變換,對稱操作,群,對稱群,對稱素,點群(32種),平移群,空間群(230種),點空間群,非點空間群。宏觀對稱性也要受到周期對稱性的影響,因此對稱素隻能有十種(1,2,3,4,6及其空間反演對稱軸),直白的說,就是正五角形鋪不滿。

宏觀對稱性對周期性也有要求,於是佈拉伐格子隻有七類十四種。(也就是說一種晶格看作佈拉伐格子的格點上放置基元,而佈拉伐格子的形式隻有十四種,也就是說所有晶體的抽象格式就十四種)

之後又簡單的說明瞭一些準晶體和非晶體的情況。

第二章 固體的結合

第二章主要講晶體中的結合方式。一共四種,離子性結合,共價性結合,金屬性結合,范德瓦爾斯結合,並且是應用量子力學的結論進行分析,當然瞭,物理學解釋微觀現象的手段就是量子力學。這四種結合其實高中就提到過,離子性就是兩個異號離子間的庫侖作用,共價性是兩個原子有共有的原子,這就涉及到電子雲瞭。金屬性結合的基礎是電子為所有原子共有,所以有的時候叫金屬電子氣。上述三種都是和電子或者離子實,總之是帶電的玩意兒有關,范德瓦爾斯結合是分子間的相互作用。

然後涉及到離子性結合,也討論瞭離子間的勢能,體變模量,結合能等。共價性結合,提到瞭電離度(有些結合是共價性結合和離子性結合的組合,電離度說明其組成關系),范式結合,也提到瞭分子間相互作用能,註意和上述勢能區分,用勒納瓊斯勢來描述。

再然後用負電性,也就是得失電子的能力,講瞭一遍元素周期表。

第三章 晶格振動與晶體的熱學性質。

第三章和第四章都是大章節,比較多,很多東西也不是很好理解。按照題目,可以把第三章劈開,就是先說的晶格振動的理論,後再用這種理論來解釋處理晶體的熱學性質。後半部分其實熱統就講瞭不老少,可惜我就記住愛因斯坦和德拜這倆人名。

晶格內原子的振動都是小振動,因此可以做簡諧近似,為瞭簡化形式又引入瞭簡正坐標,而引入瞭簡正坐標,又經過理論力學中一些我沒咋學好的東西鼓搗一番之後,發現晶格原子振動,轉化成瞭與各個簡正坐標對應的簡諧振動,而初等量子力學早對簡諧振子有研究瞭呀,擁有分立的能級,所以對於這個簡諧振動的量子,又稱為是聲子,聲子是準粒子,此處可以類比於初等量子力學中對於簡諧振子量子數的面述,如湮滅算符等。但是這個時候簡正坐標對應的簡諧振動,又叫振動膜,是什麼呢?他代表整個晶體所有原子都參與的振動,且振動頻率相同。但是註意簡正坐標的數目對應著自由度,振動膜也對應著自由度,也就說,等於整個晶體全部原子參加的所有振動,分成許多份。(也就是元激發),本來我們想研究的就是晶格的振動啊,先從每個原子的振動入手,再進行統計,那大傢也知道那麼老多原子咔咔亂振也不好統計,欸,我們這樣搞瞭一個元激發,我不統計所有原子的振動瞭,我統計振動膜,好像就方便不少瞭(其實我也沒覺出來)。那麼也就是說我隻要找到研究對象的簡正坐標,也就知道他的振動膜,知道瞭他的振動膜,就知道瞭晶格的振動,就解決瞭我想研究的問題,那至於個別原子往哪邊振那就玩蛋去吧。

接下來就具體解決瞭一維單原子鏈和一維雙原子鏈,以及三維情況的基本形式。因為簡正坐標和理論力學,咱不會,可能兩位老先生也算到瞭。所以應用的方法其實還是經典的動力學方程,但是可以證明和簡正坐標的結果是一樣的。方程的解,具有波的形式,所以管振動膜還叫格波。將格波的通解形式代入具體情形的動力學方程,解久期方程,得到瞭格波頻率和格波波數的關系,叫做色散關系,又稱晶格振動譜,滿足此關系時格波得解。

但是他和一般的波有個區別,就是他這個波長可以改,波數可以變,他怎麼可以改可以變呢(開始說評書),因為格波是各個格點上原子的振動啊,那麼這個波的圖像隻要在我這個格點上對應一樣的相位,就沒有問題。於是我為瞭使其一一對應(這是我覺得的啊),給他規定一個波數的范圍,稱為佈裡淵區,三維的佈裡淵區,用倒格子描述。(所以我覺得其實倒格子,暫時排除數學推導不講,重要的意義其實是構造瞭一個和實空間聯系的假想空間,說行話好像叫倒易空間,我還沒太研究明白)

一維雙原子的色散關系,解出兩支,一支叫光學波,一支叫聲學波。大致原因就是在長波極限就是波數趨近於零時,光學波具有與電磁波相互作用的特性,而聲學波趨近於連續介質波。而關於離子晶體,那是顯然的雙原子情況啊,關於它的長光學波,有黃昆方程,他的物理意義,建立過程,這裡不說瞭。

晶格振動的內容就是這些,接下就是應用這些內容解決晶格的熱學性質。晶格都有什麼熱學性質呢?平均內能,熱容,自由能,物態方程,熱傳導。(萬幸我當時沒跳熱統課)

晶體的熱容(原作能量,修改為熱容)來自兩方面,一方面就是晶格熱振動,一方面是電子亂跑(熱運動),但是普通情況下,電子熱運動的影響很小,所以就暫時忽略(電子的熱容另有理論),主要考慮晶格振動。統計晶格振動的能量,由上述,從振動膜入手,一個振動膜,或者說一個格波,他有分離的能級,他的量子是聲子,作為一種準粒子,他部分的處於各個能態,因此它究竟有多少能量,取決於聲子的分佈概率。聲子是一種玻色子,滿足玻色統計,按照玻色統計把聲子的能量加起來,那麼就解決瞭一個格波的能量。下一個任務就是把所有的格波的能量加起來。一個頻率對應一個格波,那麼我們需要知道按照頻率格波如何分佈,或者粗略理解為某個頻率(很小的)附近有多少個格波,這樣按照這個分佈把格波振動的能量加起來(實則是積分)就是晶體的平均內能。平均內能在體積不變的情況下對溫度求偏導得到晶體熱容。

上面提到格波振動按照頻率的分佈叫做晶格振動模式密度,又叫頻率分佈函數。上述內容,最關鍵的就是它,因為其他的可視為已知。原則上講,知道瞭色散關系,就知道瞭頻率分佈函數。但是一維情況下還行,三維情況下太復雜,由色散關系求頻率分佈函數太困難。於是愛因斯坦和德拜分佈提出瞭自己的模型,愛因斯坦說,你們所有的原子都給我按照一個頻率振動,否則給你整稀碎。原子稍微怕瞭一下,大體趨勢上是符合的,但是並不嚴格相輔。德拜將晶格近似認為是連續彈性介質,色散關系比較簡明,得到瞭德拜模型下的頻率分佈函數,由上述的到德拜熱容,較比愛因斯坦的模型更為準確,當然也有一定的局限性。

自由能,物態方程等,其解決的問題核心都在於這個晶格振動模式密度。熱傳導問題則將聲子視為聲子氣體,熱傳導依靠聲子之間的碰撞,聲子的“碰撞”滿足準動量守恒關系。

可見此章難點在於三,一是理解應用簡正坐標而得到的振動膜及其相關概念。二是掌握如何求解晶格振動模式密度及德、愛模型。三是熱力學相關的知識,玻色統計啦,內能啦,熱容啦,自由能啦,物態方程啦等等。

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