【材科基幹貨】第04期:怎樣去寫出一個晶面族(或晶向族)的所有晶面(或晶向)?

上期我們復習瞭晶體、晶體結構和空間點陣等知識,本期講解上海交通大學版《材料科學基礎》第2章內容:固體結構,包括晶向、晶面等知識。

01何為晶面指數?

晶面:空間中不在一直線的任三個陣點構成的平面,晶體內的原子層面叫做晶體的晶面。

晶面指數:表示晶面方位的符號。

02晶面指數如何確定?

確定晶面指數的步驟如下:定原點→求截距→取倒數→化最小整數→加圓括號 ( )

①建立一個空間直角坐標系,坐標軸分別為a,b,c;坐標原點不能在待標晶面上。

②求出晶面在三個坐標軸上的截距x,y,z;

③對所求截距取倒數得1/x,1/y,1/z;

④將它們按比例化成三個最小的整數h,k,l;

⑤再將它們放在一個圓括號中即得該晶面的晶面指數(hkl)。

用三指數表示的晶面指數又叫米勒指數(Miller indices)。

對於高對稱性的晶體來說,結晶學上等價的面具有相同的指數,這些結晶學上的等價面就構成一個晶面族,晶面族用花括號{hkl}表示。

確定晶面指數時應註意哪些問題?

①坐標系可以任意平移,若旋轉需要遵守左手法則。

②坐標系原點可以選在任何結點上(例如晶體的頂點、體心、或是面心),但一定不能選在待標定的晶面上,否則晶面在該坐標系上的截距就是0,0,0。

③三個指數同乘以-1,則晶面不變。(111)與 (-1-1-1)相同。

④如果晶面平行於哪個軸,則相應的那個指數為0。

晶面族特點:

(1)對於立方晶系,數字相同,僅正負號、數字排序不同的屬同一晶面族;

(2)一個晶面指數代表一系列相互平行的晶面;

(3)一個晶面族代表一系列性質地位相同的晶面。

03何為晶向指數?

晶向:空間點陣中節點列的方向。空間中任兩節點的連線的方向,代表瞭晶體中原子列的方向。

晶向指數:表示晶向方位符號。常用的標定晶向指數的方法一般有兩種,分別是坐標法和行走法。

04晶向指數如何確定?

(1)用坐標法確定晶向指數的步驟:定原點→建坐標→求坐標→化最小整數→加方括號[ ]

①建立一個空間直角坐標系,並將坐標原點設在待測晶向上;

②在該待測晶向上找到另一點,並求出該點的坐標u,v,w;

③將坐標數按比例化為最小的整數,放在一個方括號中,就得到該晶向的晶向指數。

(2)用行走法確定晶向指數的步驟:

①建立一個空間直角坐標系,並將坐標原點設在待測晶向上;

②從原點出發,分別沿著各坐標軸方向行走,最後落在待測晶向上的另一點;

③將延三個坐標軸方向行走的距離化為最小的整數,放在方括號中,就得的該晶向的晶向指數。

對於高對稱性的晶體來說,晶體學上等價的晶向具有相似的晶向指數。這些等價的晶向構成的集合,稱為晶向族,晶向族用尖括號表示。

晶向族特點:

(1)立方晶系,數字相同,僅正負號、數字排序不同的屬同一晶向族;

(2)一個晶向指數代表一系列相互平行、方向相同的晶向;

(3)一個晶向族代表一系列性質地位相同的晶向。

05實戰演練

怎樣去寫出一個晶面族(或晶向族)的所有晶面(或晶向)?

這其實是概率論的排列組合問題。

首先來一小段概率論的排列組合知識,已熟悉可以略過

有123個房間,abc三個人,每人一個房間,有多少種組合?

假設a先選,這個時候a有3個房間可以選。a選完之後,b再選,那麼b有2個房間選。c最後選,隻有1個房間可以選。因此最後他們的房間組合數是3×2×1=6種。(如果改為b或c的先選擇同樣是6種組合)

即:

圖1

接下來進入正式的環節——

①以{123}晶面族為例:

數字123在3個位置的排列同樣是有3×2×1=6種。

在晶面中還包括瞭負數,但是,(123)和(-1-2-3)互為相反數,它們代表一組相互平行、方向相反的晶面。(-123)和(1-2-3)互為相反數,因此我們先隻考慮帶負號和不帶負號,不考慮帶負號個數。

那麼這樣對於一組(123)晶面來說,它又可能有不帶負號和負號分別在1、2、3位加起來4種,也就是(123)、(-123)、(1-23)(12-3)。6種排列的每一種當中都可能有4種排列,因此最後是24種排列。這24種排列還有各自對應的相反數,於是一共是48種排列。3×2×1×4×2

即:

圖2

(按照排列的順序寫晶面族包含的晶面條理清楚不會出錯)

圖3

②{111}型有(111)、(-111)、(1-11)、(11-1)4種,再加上相反數,一共8種。

圖4

③{110}類型看0的位置,分別在123位,即(011)、(101)、(110),此外,負號位置不同互為相反數,即(0-11)=-(01-1),負號隻有存在與不存在兩種情況,因此一共有3×2×2=12種排列。

圖5圖6

④{100}類型看1的位置,分別在123位,即(100)、(010)、(001)。由於有兩個0,負號存在與不存在互為相反數,即(100)=-(-100),因此一共有3×2=6種排列。

圖7圖8 立方體的6個表面

⑤{120}類型,位置排列3×2×1=6種,由於0的存在,負號位置不同互為相反數,即(1-20)=-(-120),因此一共有3×2×1×2×2=24種排列。

{112}類型看2的位置,有3種情況,負號有不存在和位置不同一共4種情況,即(112)、(-112)、(1-12)、(11-2),因此一共有3×4×2=24種排列。

總結

{123}/{abc}類型:48個。3×2×1×4×2

{111}/{aaa}類型:8個。4×2

{110}/{aa0}類型:12個。3×2 ×2{100}/{a00}類型:6個。3×2

{120}/{ab0}, {112}/{aab}類型:24個。3×2×1×2×2,3×4×2

晶向族的情況與晶面族一樣,隻需要把符號{ }、( )改為< >、[ ]。

06重要思考題

寫出立方晶體中晶面族{100},{110},{111},{112}等所包括的等價晶面。

(歡迎留言寫出你的答案)

07易錯題分享

(答案下期見)

上期答案

(1)為什麼沒有面心單斜點陣、底心正方和面心正方點陣?

可以從兩個方面來解釋這一問題:

①如圖9(a)所示,底心正方點陣可以連成一個體積更小的簡單正方點陣;同樣,如圖9(b)所示,面心正方點陣可以連成一個體積更小的體心正方點陣。因此不存在底心正方。

圖9

②如圖10(a)所示,由簡單正方點陣可以構成一個底心正方點陣;同樣,如圖10(b)所示,由體心正方點陣可以構成一個面心正方點陣。因此不存在底心正方點陣和面心正方點陣。

圖10

面心單斜點陣可以構成一個更小的簡單單斜點陣,底面類似圖10(b),然後和面心原子組成一個更小的簡單單斜點陣。

(2)為什麼密排六方結構不能稱為一種空間點陣?

圖11

答案:空間點陣中每個陣點應具有完全相同的周圍環境,而密排六方晶胞內的原子與晶胞角上的原子具有不同的周圍環境。在A和B原子連線的延長線上取BC=AB,然而C點卻無原子。若將密排六方晶胞角上的一個原子與相應的晶胞內的一個原子共同組成一個陣點(0,0,0陣點可視作由0,0,0和2/3,1/3,1/2這一對原子所組成),如圖11所示,這樣得出的密排六方結構應屬簡單六方點陣。

(3)試證明四方晶系中隻有簡單四方點陣和體心四方點陣兩種類型。

圖12

答案:可作圖加以證明四方晶系表面上也可含簡單四方、底心四方、面心四方和體心四方結構,然面根據選取晶胞的原則,晶胞應具有最小的體積,盡管可以從4個體心四方晶胞中勾出面心四方晶胞(圖12(a)),從4個簡單四方晶胞中勾出1個底心四方晶胞(圖12(b)),但它們均不具有最小的體積。因此,四方晶系實際上隻有簡單四方和體心四方兩種獨立的點陣

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