解析遊戲中的抽卡機制

某次機緣巧合,剛打完原神的我跟原神好友“機智的額頭怪”對原神裡面的抽卡機制展開討論,並一起嘗試建模分析。發覺到裡面有不少有趣且值得研究的內容後,我對抽卡機制進一步深化研究,經過一年多的打磨和與導師的討論後,最終將這篇以原神抽卡為出發點的paper投往瞭ACM SIGMETRICS 2023並最終成功accept。作為一名原神玩傢,在此也分享一下本文的工作,也再次感謝“機智的額頭怪”,和你的討論為我們分析抽卡機制提供瞭靈感。

抽卡遊戲(Gacha Game)被廣泛應用在很多免費(free-to-play,F2P)遊戲中。在抽卡遊戲中,玩傢不能直接購買物品,而隻能購買抽獎券,利用抽獎券進行抽獎才有概率贏得想要的物品。不同於簡單的彩券(lottery),在抽卡遊戲(Gacha Game)中,每一次抽獎的概率是可以變化的。抽卡遊戲中存在很多有意思的問題,比如,從玩傢角度上,如何制定自己最佳的抽卡策略?而從遊戲廠商角度上,如何設置抽卡遊戲的概率,采用哪些抽卡機制可以提高收益?本文將結合理論分析和實際例子,展開對抽卡遊戲設計與分析的討論。

抽卡機制建模

在對抽卡機制進行建模的時候,我們考慮瞭如下商品銷售模型:存在一個抽卡遊戲的玩傢(買傢)和賣傢(遊戲廠商),其中玩傢對抽卡遊戲中的獎勵物品認可價值為 R (這是一個個人屬性,每個人認可的價值可以不同), 其中 R 服從分佈 F . 玩傢隻能通過向賣傢購買抽獎券,進行抽獎,才有可能獲得獎勵的物品。其中抽獎券的價格為 c , 第 i 次抽獎的中獎概率為 p_i. 賣傢將先設定好抽獎券價格 c 和中獎概率 textbf{p}=(p_1, p_2, cdots) ,而玩傢將根據遊戲參數決定是否向賣傢購買抽獎券進行抽獎。

從玩傢角度,在抽卡遊戲中,每一抽對應的概率都可能有所不同。在數學模型上,我們可以把玩傢抽卡的整個過程建模成一個馬爾可夫決策過程(Markov Decision Process, MDP)。記玩傢處於第 i 抽所在的狀態為 S_i , 在每個狀態下玩傢的選擇(action)隻有兩種,抽或者不抽。第 i 抽能抽中的概率為 p_i,一旦抽中事件發生,玩傢則會轉移到終止狀態win狀態 S^*並獲得對應獎勵 R, 反之如果沒有抽中,玩傢就會轉移到下一個狀態 S_{i+1}中,並且啥也沒有。在這樣一個抽卡遊戲中,每一個精明的玩傢都將尋找出自己的最優策略 pi^*以最大化自己的收益,而最優策略 pi^*可以通過求解MDP得到。

馬爾可夫決策過程(MDP)

從賣傢角度,賣傢希望最大化自己的期望收益。賣傢的收益來自於出賣抽獎券給玩傢,故賣傢收益可以表示為 c cdot mathbb{E}(pi^*)其中 mathbb{E}(pi^*) 表示玩傢抽取的期望數。

最優(最賺錢)抽卡機制設計

各大抽卡遊戲廠商,當然希望讓玩傢多多氪金,多多抽卡,以此來賺得盆滿缽滿的。那麼問題來瞭,遊戲廠商又該如何去設計抽卡遊戲的參數(抽獎券價格 c,中獎概率 p_i)呢?

以原神為例,許多抽卡遊戲廠商采用瞭保底機制(pity system),也即 N抽必定至少中獎一次, p_N。保底機制又可以分為硬保底(hard pity)和軟保底(soft pity)(非官方分類),硬保底一般指的是在觸及保底數 N 前的概率都為某一恒定較小值,保底第 N抽的中獎概率為 p_N=1,而軟保底則會在抽卡的過程中逐漸提高中獎概率。已有大佬解析出原神的抽卡概率如下,原神采用軟保底的方式,使得絕大多數玩傢能在90抽保底前出一個五星。

來源:B站一顆平衡樹

保底隻是一種特殊的抽卡概率設計,那麼對於遊戲廠商來說,該如何去設計抽卡機制來賺更多的錢呢?

我們可以發現,遊戲廠商的收益取決於玩傢抽卡的策略 pi^*。對建模的MDP進行分析後,發現存在一類特殊的抽卡遊戲,在這類抽卡遊戲中,所有玩傢的最優抽卡決策要麼是 pi_0,即完全不抽一次,要麼是 pi_{infty},一直抽下去直到抽中為止。在這類抽卡遊戲中,玩傢分割成兩個派別,要麼是完完全全的白嫖黨(完全不抽一次),要麼是傢財萬貫的氪金大佬(一直抽下去直到抽中為止)。這種氪金大佬又稱之為whale,因此在文中,我們也將這種特殊的抽卡遊戲屬性稱之為氪佬屬性或巨鯨屬性(whale property)。從MDP模型上,我們可以給出如下定義

進一步分析可以發現隻要抽卡遊戲中的中獎概率遞增(p_i leq p_{i+1}, forall i),那麼這個抽卡遊戲就有氪佬屬性(whale property)。而現有許多遊戲都具有氪佬屬性的,原神的保底機制也不例外。

對於一些不具備氪佬屬性的抽卡遊戲,抽卡的中獎概率就不一定是遞增的瞭,比如可能是前面幾次概率高,後面中獎概率下降等,如下圖。此時玩傢的最優決策就不再是簡單的 pi_0pi_{infty}瞭,而可能是抽幾發後離開 pi_k, kin[0, 1, cdots, infty] ,其中 pi_k 表示玩傢的策略為最多抽 k 次直到抽中。

這種前幾抽中獎概率高的設計在不少遊戲中體現為新手福利/新手運氣,前面幾抽中獎概率高可以使得更多幸運玩傢一發出金,同時也吸引著一些低氪玩傢氪金(雖然氪不瞭很多錢,但是前幾抽很容易出貨哦?不來試試嗎?)。

在研究非氪佬屬性的抽卡遊戲時,這裡有一個小技巧,我們證明瞭任何一個抽卡遊戲,都可以拆分成幾個具有氪佬屬性的抽卡子遊戲(whale property subgame),從而將非氪佬屬性的抽卡遊戲轉換成相對簡單的氪佬屬性抽卡遊戲進行分析

對比有氪佬屬性的抽卡遊戲,和沒有氪佬屬性的抽卡遊戲,我們可以發現:

  • 在有氪佬屬性的抽卡遊戲中,遊戲廠商隻能賺到氪佬的錢;而在非氪佬屬性的遊戲中,會有不同層次的玩傢抽卡,輕氪( R 較小)玩傢可能抽幾發就離開,中氪( R 較大)玩傢可能多抽幾發才離開,但氪佬( R 很大)會一直抽下去
  • 直觀上非氪佬屬性的遊戲可以吸引不同層次的人抽卡,從而可能提高遊戲廠商的收益
  • 但非氪佬屬性的遊戲在前幾抽中獎概率相對較大,此時氪佬玩傢可能也在前幾抽抽中後也就離開瞭,因此對於遊戲廠商來說可能就少賺瞭氪佬的錢

在文章中,通過分析我們可以得到以下結論:

  • 對於遊戲廠商(賣傢)收益而言,有氪佬屬性的抽卡遊戲嚴格優於非氪佬屬性的抽卡遊戲。 這也意味著,遊戲廠商如果想最大化自己的收益,他應該選擇設計為有氪佬屬性,這也和大多數現有的抽卡遊戲設計相吻合。有氪佬屬性的抽卡遊戲隻賺氪佬的錢,而非氪佬屬性的抽卡遊戲多賺瞭輕氪玩傢的錢,但卻少賺瞭氪佬的錢。而有氪佬屬性的抽卡遊戲收益嚴格優於非氪佬屬性的抽卡遊戲,也進一步反映瞭遊戲廠商(賣傢)的收益主要來源於氪佬( R 很高的一群人),這與現實抽卡遊戲中的二八定律相吻合(20%的玩傢提供瞭廠商80%的收益)。
  • 我們還進一步設計瞭可以實現遊戲廠商(賣傢)收益最大化的氪佬屬性的抽卡遊戲機制,而最高收益與單人單物品Myerson拍賣的最高收益相同。
  • 我們還進一步顯示地展示瞭任何抽卡遊戲與單人單物品Myerson拍賣(single-item single-bidder Myerson auction)的等價性,而氪佬屬性的抽卡遊戲正好對應著Myerson拍賣的Take-it-or-Leave-it策略。(沒想到啊,打個遊戲,其內在還會跟諾貝爾經濟學獎有名的Myerson拍賣理論有聯系)

抽卡機制和Myerson拍賣

這裡簡單介紹以下抽卡遊戲和Myerson拍賣的聯系,通過這個聯系,我們能將auction的一些理論結果遷移到抽卡遊戲中,從而能得到一些有意思的發現。(對這部分不感興趣的話可以跳過看下一小節)

一個經典的拍賣模型可以認為由以下幾部分構成:

  • 分配規則(allocation rule): x(b) ,表示當競拍者bidder,出價為 b 的時候,他將以 x(b) 的概率獲得拍賣的物品
  • 支付規則(payment rule): y(b) ,表示當競拍者bidder,出價為 b 的時候,他將需要真正支付 y(b) 的代價

假設競拍者對這個拍賣物品的心理估價為 R ,當競拍者bidder出價為 b 的時候,他的期望效用(utility)是 u(b) = x(b)cdot R – y(b)。那麼怎麼保證競拍者會誠實出價呢?(我們希望 R=b ), 這就對應著DSIC屬性(dominant-strategy incentive-compatibility), 此時我們可以通過經典的Myerson引理來設計一個DSIC的拍賣

Myerson Lemma

而對於抽卡遊戲來說,不同的玩傢對抽卡物品有著不同的心理估價 R ,因此也可能采用不同的抽卡策略 pi_k , 而不同的抽卡策略會讓玩傢以不同的概率贏得這個抽卡遊戲,同時也會讓玩傢支付不同的代價。當我們將抽卡遊戲的中獎概率 P_{succ}(pi_k) 等價成拍賣中的allocation rule,通過Myerson引理可以計算出對應的payment rule,通過對比分析可以證明其等價性。抽卡遊戲和Myerson拍賣的等價關系如下

抽卡遊戲和Myerson拍賣的等價關系

基於此等價性,我們可以通過最優的Myerson拍賣得出最優的抽卡遊戲設計。同時single-item single-bidder Myerson auction中的take-it-or-leave-it策略的最優性也對應瞭抽卡遊戲中whale property(氪佬屬性/巨鯨屬性)的最優性。

多物品的抽卡機制設計

以上我們主要關註的是單個物品的抽卡機制設計,在文中,我們還拓展討論瞭兩種多物品的抽卡機制設計,其中一種多物品抽卡機制建模分析的是抽卡遊戲中玩傢對同一個卡池反復抽取的現象(以原神為例,就是玩傢在同一個卡池中反復抽取,以撈角色的命座或更多武器,從而進一步提高角色的強度);另外一種多物品抽卡機制則刻畫瞭抽卡遊戲中up池的情況(以原神為例,就是每隔一段時間卡池中的獎勵(人物或武器)就會更新迭代)。在這兩種多物品的抽卡機制中,我們主要關註玩傢抽卡狀態繼承和重置問題,進一步深入探討抽卡中的玄學。

抽卡狀態繼承和重置

正如上文提及,現有很多抽卡遊戲都采用瞭保底機制。由於保底機制的存在,玩傢抽卡中獎概率也會隨著抽卡次數的增加而遞增,因此玩傢會心心念念惦記著自己的每一抽的狀態,以做好自己的抽卡規劃。在原神中90抽保底出五星,但當玩傢抽出五星後,玩傢的抽卡狀態將會重置(也是保底重置)。而前陣子宣傳的熱熱鬧鬧的“原神競品”幻塔采用瞭跟原神類似的抽卡機制,通過抽卡來獲得角色武器等。為瞭照顧我等非酋,幻塔跟原神一樣也有著保底機制。但幻塔在抽卡機制上,有著令眾多原神玩傢羨慕的一個特性:保底不重置。

  • 原神裡面角色池子90發保底,統計結果顯示大多數人平均起來都是65發左右出五星,一旦出瞭五星,保底重置。也就是說出瞭五星後,下次還是得從頭開始攢原石抽卡,平均意義上還得多準備60多發。
  • 幻塔裡面武器UP池子80抽必出SSR。但是~玩傢假設60抽出金瞭,玩傢的保底還在,不會重置哦。所以60抽中瞭,再丟20抽也必定再出一金。(原神玩傢們,羨慕嗎?)

直觀上,保底不重置對玩傢友好多瞭。當玩傢中途出金瞭,玩傢還可以繼續花少數抽卡機會就能迎來下一次出金。保底不重置仿佛是資本傢的良心。但精明的資本傢和策劃們真的會願意給玩傢白白發福利,而不是竭盡所能賺更多的錢嗎?這兩種機制到底哪個更好呢?為此,我們在文章裡面專門研究瞭玩傢抽卡中獎時狀態重置和繼承機制(reset-after-winning mechanism and succeed-after-winning mechanism),並有如下有意思的發現

  • 保底不重置看似良心,實則更能誘導玩傢氪金。 當狀態重置時,玩傢每次抽卡中獎的期望開銷時恒定的;而當狀態繼承時,尤其在有保底機制的抽卡遊戲中,玩傢抽卡中獎的期望開銷實際上是隨著中獎次數下降的,類似上述幻塔的例子。這種下降的期望開銷像優惠一樣吸引著玩傢抽下去,從而有能力進一步誘導玩傢氪金。
  • 當玩傢在卡池中抽的次數足夠多時,狀態重置機制能夠達到賣傢收益的漸進最優。以原神為例,在up池中如果要抽出滿命5星,最非的情況下可能要抽出14個金(各種歪)。我們在文章中證明瞭當一個卡池能吸引玩傢抽的次數足夠多時,簡單的狀態重置就能讓商傢收益接近最大。

UP卡池/限定卡池機制

我們來分析一下許多抽卡遊戲有的up卡池/限定卡池機制,也即每隔一段時間更新抽卡遊戲的獎勵(對應文章中分析的banner-based gacha game)。還是以原神為例,原神的up卡池中的獎勵每隔一段時間就會更新。如下就是原神3.3版本的up卡池情況,3.3版本上半時間up卡池的角色是流浪者和一鬥,下半時間的up卡池是雷電將軍和凌人。這種up卡池機制使得遊戲廠商可以在抽卡遊戲中加入新的卡池獎勵,也方便遊戲廠商規劃他們的收入流水。

在原神的up卡池機制中,存在著這樣一條良心機制:玩傢的抽卡狀態將在不同的up池中繼承,up池的更新並不會重置玩傢的抽卡狀態。具體而言,假如玩傢在當前卡池抽瞭40次,但是沒有抽中五星,處於MDP中狀態 S_{41} ,當下一個卡池更新時,玩傢仍舊在狀態 S_{41} 。以原神90抽保底為例子,玩傢最多需要再抽多50抽就必然能抽中。這種看似良心的機制,再次誘發我深入思考,難道這次真的是資本傢的良心嗎?帶著疑問,我們在文章中對比分析瞭up池狀態繼承和狀態重置機制(succeed-after-opt-out mechanism and reset-after-opt-out mechanism),並得出以下結論

  • 采用up池狀態繼承或狀態重置機制對賣傢(遊戲廠商)來說收益是一樣的
  • 當玩傢有預算約束時,up池狀態繼承機制對玩傢更友好,同時也能增加賣傢(遊戲廠商)的收益

基於以上兩點結論,我們可以發現up池狀態繼承對玩傢友好的同時也不會損害遊戲廠商的收益,而當玩傢有預算約束時,繼承機制反而能讓遊戲廠商賺更多的錢,這也就解釋瞭為何遊戲廠商原因采用如此良心的機制瞭。

最後,我們還討論瞭遊戲中的補貼機制,也即遊戲廠商給白嫖黨發免費抽獎券的行為。這對應著遊戲中玩傢可以通過完成活動/任務等獲取抽獎機會的現象。我們發現補貼可以提高遊戲廠商的收益,但是在up池的情況下,可能會導致玩傢囤免費的抽獎券,從而降低遊戲廠商的收益,對應的是在原神中,也就是我等白嫖黨攢原石抽心愛角色的行為。我們在文中為白嫖黨薅羊毛的行為也進行瞭建模分析,這也可以為廣大旅行者的原石和卡池規劃做參考。

抽卡機制與區塊鏈系統

此外,文中我們還建立起抽卡機制與區塊鏈的聯系。個人觀點:區塊鏈本身不就像一個開放世界的抽卡遊戲嗎?任何人都可以參與區塊鏈系統,在系統中累積數字貨幣,通過算力等方式進行抽卡,幸運兒有機會產生區塊並獲得一份獎勵。具體來說,我們有如下對應

抽卡遊戲和區塊鏈系統的對應關系

通過將區塊鏈系統建模成抽卡遊戲,我們利用抽卡遊戲中的結論來進一步分析區塊鏈系統。如果你感興趣對這部分內容,詳情可以參見文章第7章。

如果你對上述結論感興趣,歡迎閱讀我們的論文!如果想有相關合作或相關學術問題,也歡迎私信我。

最後整個活,附上某天晚上我科研到瘋掉後在實驗室的白板上作畫的成果~哈哈哈哈哈~如果有原神玩傢全部猜出我畫的是啥,可以來我的世界裡面隨意采材料哦。

本人被科研逼瘋後的藝術畫 😀

下面是我和“機智的額頭怪”一起制作的一個整活且科普向的原神抽卡機制解析視頻

參考文獻:

Canhui Chen and Zhixuan Fang, “Gacha Game Analysis and Design,” Proceedings of ACM SIGMETRICS (SIGMETRICS), June 2023.

論文鏈接:

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