晶面指數&密勒指數,面間距

首先這兩種指數都是表征晶面的一種方式,

密勒指數 是借助晶胞基矢 a,b,c 為單位矢量,一般用一組互質的 hkl 表征晶面;

晶面指數 借助原胞基矢 a_{1},a_{2},a_{3} 為單位矢量,一般用一組互質的 h_{1},h_{2},h_{3} 表征晶面;

衍射面指數/衍射峰指數 這個指數在XRD中使用,是密勒指數的整數倍,這裡不贅述,可以參考下面這個回答

很明顯晶面指數表征過程中不會漏掉任何一個晶面,而密勒指數由於格矢量的整系數卻會漏掉一些晶面(如在面心立方、體心立方中)。對於科研工作者,晶胞基矢 a,b,c在直角坐標系中是更常用的表達,方便是方便,但是表征晶面也會出現問題,例如面心立方的(110)方向晶面間距計算有問題。

對於面心立方晶格,密勒指數為(100)和(001)的面,其面指數分別為(101)和(110)。相同的指數,不同的參考坐標系,晶面一般不同,面間距也有差別。因此,兩種表征下的晶面間距會有所不同,相應晶面原子數密度也會有所不同。

因此,前人總結瞭一種更為方便的表達:在用密勒指數表達晶面時增加一個修正系數即可。

兩種面指數下的晶面間距結論:

  • 晶面指數 h_{1},h_{2},h_{3} 表達下的面間距:

d_{h_{1}h_{2}h_{3}}=frac{2pi}{left| G_{h_{1}h_{2}h_{3}} right|}

  • 密勒指數 hkl 表達下的面間距:

d_{hkl}=frac{1}{alpha}frac{2pi}{left| G_{hkl} right|} , alpha 值需進一步討論。

可經過數學推導得到 G_{h_{1}h_{2}h_{3}}={alpha}{cdot}G_{hkl} ,因此這兩種表達方式等價,均可毫無遺漏的表達所有晶面。

群答疑記錄補充(僅針對考試)2020.7.25:

問:為什麼我和別人算的面間距結果和別人的不一樣?

答:排除算錯的情況,大概率因為你們一個把題目中給的指數默認瞭密勒指數 hkl ,一個默認面指數 h_{1},h_{2},h_{3}

再問:題目中並未指定哪種指數啊,像這個題目:

(該題目有詳細解答:

答:題目裡好多時候根本不指定的情況確實存在,包括考研題,本科期末試題,可能是題目的疏漏,按道理是應該指定的。當然也可能是考研題是回憶的,不精確。另外,科研論文中比較常用的是密勒指數表達晶面,因為密勒指數是晶胞的單位矢量系數,坐標系使用起來更方便些。面指數是原胞單位矢量系數,坐標系往往並不兩兩垂直,使用不方便,但是按部就班的計算毫不疏漏。實在沒有指定,而且你正在面臨考試,就默認密勒指數吧!

順便總結一下公式吧!考研黨可以直接拿來用啊

1、面指數 h_{1},h_{2},h_{3} 下的晶面間距: d_{h_{1}h_{2}h_{3}}=frac{2pi}{left| G_{h_{1}h_{2}h_{3}} right|}

1.1、對於面心立方:

d_{h_{1}h_{2}h_{3}}=frac{a}{sqrt{left( -h_{1}+h_{2}+h_{3} right)^{2}+left( h_{1}-h_{2}+h_{3} right)^{2}+left( h_{1}+h_{2}-h_{3} right)^{2}} }

1.2、對於體心立方:

d_{h_{1}h_{2}h_{3}}=frac{a}{sqrt{left( h_{2}+h_{3} right)^{2}+left( h_{1}+h_{3} right)^{2}+left( h_{1}+h_{2} right)^{2}} }

1.3、對於六角晶格:

d_{h_{1}h_{2}h_{3}}=left[ frac{4}{3}left( frac{h_{1}^{2}+h_{2}^{2}+h_{1}h_{2}}{a^{2}} right)+left( frac{h_{3}}{c} right)^{2} right]^{-frac{1}{2}}

2、密勒指數 hkl 下的面間距: d_{hkl}=frac{1}{alpha}frac{2pi}{left| G_{hkl} right|}

2.1、對於面心立方:

d_{hkl}=frac{a}{sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}} }, hkl 均為奇數;

d_{hkl}=frac{1}{2}cdotfrac{a}{sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}} }, 其他。

2.2、對於體心立方

d_{hkl}=frac{a}{sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}} }, h+k+l= 偶數

d_{hkl}=frac{1}{2}cdotfrac{a}{sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}} }, 其他。

2.3、對於六角晶格:

d_{hkl}=left[ frac{4}{3}left( frac{h^{2}+k^{2}+hk}{a^{2}} right)+left( frac{l}{c} right)^{2} right]^{-frac{1}{2}}

對於這種晶胞原胞都隻包含一個基元時,基矢選取相同,自然面間距指數具有相同的對應關系。面心、體心立方分別含有4個、2個基元,因此基矢選取不同,導致瞭兩種指數與晶面不同的對應關系。

如想進一步瞭解正交晶系、體心四方的密勒指數分析可看參考文獻[3].

2020.7.25 補充到此為止!

兩種指數的聯系(不必掌握):

如圖面心立方晶胞基矢量 abc ,原胞基矢 a_{1},a_{2},a_{3}

兩種指數具體關系分析過程如下:

糾正↑↑密勒指數為(100)和(001)的面,其面指數分別為(101)和(011)。

歷年真題中,兩種表征下的面間距、晶面原子數密度計算都有出現過。因此,各位同學解題前一定要認清題中要求的表征方式。

具體的晶面間距推導計算見以下參考文獻:

密勒指數與晶面指數間的關系_尹慶.pdf

赞(0)