【數學分析】海涅定理(歸結原則)(是個人就能看懂的證明過程)

定理內容:

若x_nne x_0,lim_{xrightarrow x_0}f(x)=ALeftrightarrowforall x_nrightarrow x_0(nrightarrow infty)恒有lim_{nrightarrowinfty}f(x_n)=A

證明:

(Rightarrow) 必要性:

由極限定義可得: for forall varepsilon>0,existsdelta>0,when0<|x-x_0|<delta,|f(x)-A|<varepsilon

由數列極限可知:對於上述 delta ,存在 N ,當 n>N 0<|x_n-x_0|<delta ,所以 |f(x_n)-A|<varepsilon ,由此可得 lim_{nrightarrowinfty}f(x_n)=A


(Leftarrow) 充分性:

條件: forall x_nrightarrow x_0(nrightarrow infty)恒有lim_{nrightarrowinfty}f(x_n)=A 結論: lim_{xrightarrow x_0}f(x)=A

證明思路:利用反證法,假設結論不成立,然後證明結論不成立之後的必然成立的子結論,最後得到子結論不能和條件同時成立,由此得到假設不成立,因此結論成立,進而得到充分性證明。註意在充分性的證明中條件是永遠成立的,所以隻要得出條件不成立的假設都是錯誤假設。

假設A: lim_{xrightarrow x_0}f(x)ne A

由此推出子結論:對於任意小的 delta ,(這裡隱含的意思就是對所有的 delta ),總存在一點x'in U^0(x_0;delta)使得 |f(x')-A|>varepsilon (註意這裡也是對於該點成立的, x' 是一個點)

這時我們隻要證明在條件成立的情況下,子結論不總是成立的就可以瞭。因為隻要假設A成立,子結論對於任何 delta 總是成立的,這時我們隻要找到一個反例就可以證明假設錯誤瞭,為瞭達到這一目的,同時為瞭利用條件,我們就需要人為構造出一個數列。

由子結論可知,總有一點 x 使 |f(x)-A|>varepsilon 成立,這裡我們通過調整 delta 來獲得不同的 x ,這裡依次取 delta=delta',frac{delta'}{2},dots,frac{delta'}{n},dots ,由此構成數列 {x_n} ,因為 0<|x_n-x_0|<frac{delta'}{n}lim_{nrightarrowinfty}x_n=x_0 ,同時由條件知道對於任意滿足 lim_{nrightarrowinfty}x_n=x_0 這一條件的數列恒有 lim_{nrightarrowinfty}f(x_n)=A ,故 |f(x_n)-A|<varepsilon

但是子結論對所有 x' 都是 |f(x')-A|>varepsilon 兩者相矛盾,也即二者矛盾,最終得出假設不成立。

註意:

  • 這裡構造的數列除瞭極限是 x_0 ,各項有可能相同,所以不存在單調性可言
  • 這裡的 delta 是可以隨便取值的,也可以直接取 frac{1}{n}

其實很多人對於海涅定理中充分性證明一直不能理解的點在於明明是要證明對於任何數列都成立,但是在證明過程中卻隻是證明瞭一種情況不成立就得出結論瞭,感覺好像邏輯上說不過去,但是事實上構造的這個數列隻是為瞭證明條件瞭子結論是沖突的,而不是為瞭直接證明假設和結論是沖突,綜上之所以會產生不能理解海涅定理充分性的證明主要是由於想錯瞭證明的方向。

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