關於波動率,你想知道的都在這瞭

1 波動率的定義

某個變量的波動率 sigma 定義為這一變量在單位時間內連續復利回報率的標準差。當波動率被用於期權定價時,時間單位通常為一年,因此波動率就是一年連續復利回報率的標準差,但是當波動率用於風險控制時, 時間單位通常是一天,此時的波動率對應於每天連續復利回報率的標準差。 如果我們假設每天的回報獨立同分佈,那麼T天回報的標準差是日回報標準差的 sqrt{T} 倍,這和“不確定性隨著時間長度的平方根增長”這一法則是一致的,在計算波動率時,我們用的是交易的天數(252)而非日歷天數,比如在計算周五結束交易到下周一結束時股票價格的標準差時,我們發現,這“三天的連續復利收益率”並沒有比連續兩個交易日之間的連續復利收益率高很多,因此有種解釋是波動率本身是由交易本身決定的,而累積的是不同交易日的“交易的不確定性”,因此我們更關心的是實際的交易天數(或者說波動率在交易日要遠高於非交易日,因此在波動率計算中非交易日可以忽略不計)。 波動率分為兩種,一種是回望型波動率(backward looking),另外一種是前瞻波動率(forward looking)。前者是用歷史數據算出來的波動率,後者是根據現在的期權價格,用B-S 期權定價模型反推出來的波動率。前者是已經發生瞭的歷史價格的波動,我們算一個波動率。後者是我們對未來一個價格的波動率的預測,未必準確的。

2 回望型波動率-歷史波動率

先說前者,回望型波動率,就是我們所說的歷史波動率,他是根據歷史數據計算的。在這裡,我們要區分日波動率與年波動率的概念,我們定義: n+1 ——————觀測次數; S_{i} ———————第 i 個時間區間結束時變量的價格,i = 0,1,……,n; tau ——————— 事件區間的長度,單位是年

收益率 u_{i} (連續復利收益率)的計算公式為: u_{i} = lnleft( frac{S_{i}}{S_{i-1}}right) 公式-1) u_{i} 的標準差s通常估計為: s = sqrt{frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n}{left( u_{i}-bar{u}right)}} 或者 s = sqrt{frac{1}{n-1}sum_{i=1}^{n}{ u_{i}^{2}} – frac{1}{nleft( n-1 right)}left( sum_{i=1}^{n}{u_{i}} right)^{2}} 公式-2)

我們假設有這樣一支股票,其收益如下表所示:

按照上面的數據,我們可以得出: sum_{i=1}^{n}{u_{i}} = 0.09531 sum_{i=1}^{n}{u_{i}^{2}} = 0.00326

日標準收益率的標準差為:

s = sqrt{frac{0.00326}{19} – frac{0.09531^{2}}{19*20}} =0.01216 我們的日收益率標準差就是 1.216%,當然這個隻是我們在規定時間段內的收益率的統計而已,它計算的是日收益率的標準差。年波動率可以估計為:

sigma = ssqrt{252} = 0.193 公式-3)

因為我們隻有20個樣本,所以波動率的每年標準差可估計為 frac{sigma}{sqrt{2n}} 公式-4)

frac{sigma}{sqrt{2n}} = frac{0.193}{sqrt{2*20}} = 0.031

3.1% 就是年化波動率瞭。總結一下,先用公式-1的方法來計算每天的收益率,然後用公式-2來估計一個日收益率的標準差,接著用公式-3來計算波動率,然後用公式-4 來估計實際的年化波動率。這個收益率是用已經發生瞭的歷史價格來推算一下波動率的,也就是回望型波動率,對於未來還沒有發生的價格波動,沒人知道具體的價格走向,但我們根據該資產對應的期權價格,與B-S 期權定價模型可以推算出市場上預計該資產的波動率。前面所討論的方法都默認過去各個時間點上的收益率對當前波動率的權重也就是貢獻相同(equally weighted),在實際中這往往不太現實,由於供求關系,市場環境,經濟周期以及各種基本和技術層面的因素,波動率在不同時間區間往往會發生變化(regime switch), 很難想象1年前和1天前的收益率對估計波動率會有相同的影響。所以實際應用中往往需要對不同歷史時刻的收益率施加不同的權重,這就有瞭一些更加復雜的波動率模型,如

1) EWMA (Exponetially Weighted Moving Aveage) sigma_{n}^{2} = lambda sigma_{n-1}^{2} + left( 1-lambda u_{n-1}^{2}right) 其中 lambda 一般取為0.94左右。可以證明這樣的模型使得歷史收益率對波動率的影響隨著過去距離今天的時間差而指數遞減。

2) GARCH (General Autoregressive Conditional Heteroskedastic Model) sigma_{t}^{2} = omega + sum_{i=1}^{q}{alpha_{i}varepsilon_{t-i}^{2} + sum_{j=1}^{p}{beta_{i}sigma_{t-j}^{2}}} 其中 varepsilon_{t} = sigma_{t}* z_{t} 為收益率的殘差 (residual), 即收益率除去均值後的部分(如均值為零可近似看作收益率本身). z_{t} 為一強白噪聲過程,可取為標準高斯分佈。常用的模型為GARCH(1,1), 也就是p=q=1. 上面的EWMA是GARCH(1,1) 在 beta_{1} = lambda , alpha_{1} = 1-lambda omega =0 時的特例。GARCH模型的一個優點在於它保證瞭當系數滿足一定條件時波動率具有 mean reversion 的性質,也就是長期波動率存在一個穩定值。對GARCH(1,1), 這個值就是: frac{omega}{1-alpha_{1}-beta_{1}} 條件是 alpha_{1} +beta_{1} <1 此外還可以證明波動率滿足GARCH模型的資產收益分佈具有比常值波動率的高斯分佈收益率更加厚的峰度(即heavy tail).GARCH 模型有很多變種,比如有時需要考慮同樣絕對值的正負收益對波動率的不同影響。 我們做風險分析工作中用到的就有EGARCH, IGARCH以及GJR-GARCH等。

3 隱含波動率

關於implied volatility。這個是通過BS公式反解出來的volatility,一般認為是對未來波動率的預期。有人說,implied volatility 的本質是一個錯誤的數字帶入到錯誤的公式最終得到正確的價格。之後出現的 volatility smile/skew 也就不足為奇瞭。1987年以前,stock option呈現volatility smile。87 股災,也就是 LTCM 出事以後,volatility 就變成 skew 瞭。我們老師戲稱其為中風病人的 smile。不過在外匯市場上仍然是 smile 為主。

值得註意的是,CBOE推出的 VIX 指數反映的就是 S&P500 指數的 implied volatility。VIX一開始是用 at-the-money option 的 implied volatility 計算,後來改成瞭一種 model free 的算法,即:

VIX^{2} = frac{2}{T}sum_{i}^{n}{frac{Delta K_{i}}{K_{i}^{2}}Q_{i}left( K_{i} right)-frac{1}{T}left[ frac{F}{K_{0}} -1right]^{2}} 這裡, F 是 forward price, Q_{i} 是以 K_{i} 為行權價的 out-of-the-money option, K_{0} 是低於 F 的最高行權價。這裡用的記號是 Jim Gatheral: The Volatility Surface 一書中的記號。具體的推導可以參見此書,或者直接看 CBOE 2003 年的白皮書。在普通股票的假定下,我們知道,歐式期權的價格是由線下面著名的B-S公式決定的: C_{t} = C^{BS}left( P_{t} ,sigma,tau,K,rright) 而且,我們知道這個公式是波動率 sigma 的單調遞增函數,因此每一個期權價格都唯一的對應一個波動率,我們稱它為隱含波動率。對於隱含波動率並沒有明確的表達式,我們可以采用數值的方法來求。

當然,這個辦法隻能是估計,期權的交易員們並沒有通神的本領能知道未來的價格走勢,隻是按照期權定價模型來反推出所謂的前瞻型波動率,這個波動率又稱為隱含波動率。

值得一說的是,這個隱含波動率在理論上,看漲和看跌應該是一樣的,但實際上會發生偏差,可見交易員並非能預言未來的神,市場也不能預測未來的價格,隻是個參考而已。

附蘋果公司(Apple Inc)股票期權價格和對應的隱含波動率圖:

不同的執行價的隱含波動率是不同的,代表著交易員們對該股票未來波動率的看法。

4 附錄

第一,關於 historical volatility。在 Black Scholes 的框架下,也就是假設股票價格服從 GBM 的時候,volatility 可以用 quadratic variation 計算。如下式:

lim_{n rightarrow infty}{sum_{i=1}^{n}{left( X_{t_{i}} – X_{t_{i-1}} right)^{2}}} =left[ X,Xright]_{T} = sigma^{2}T 這裡 X_{t} 是股票價格的對數, t_{0},t_{1},cdotcdotcdot,t_{n}left[ 0,Tright] 區間的一個劃分。註意,這個和標準差不一樣,這個其實是對數收益率的二階距。可以證明,用 quadratic variation 得到的估計量是一致估計。第二,還有一種東西叫 local volatility,這個其實是一個作為 stochastic volatility 的一種替代做法,就是認為 volatility 是一個關於時間和資產價格的確定性函數 sigmaleft(t,S_{t} right) ,因此也叫 Deterministic Volatility Function (DVF)。這樣做也就是為瞭避免 Heston Model 等 stochastic volatility 帶來的計算復雜度。Dupire 給出瞭一種計算 local volatility 的方法: sigma^{2}left(K,T right) = frac{frac{partial C}{partial T}}{frac{1}{2}K^{2}frac{partial^{2}C}{partial K^{2}}}

這裡的 C 是未折現的期權價格。右邊的兩個導數可以由市場上的期權價格計算出來。 不過因為行權價和到期日並不是連續變化的, C 隻在一個離散點集上有定義,需要至少二次樣條的插值才能行。由此可見,這種方法其實是不適定的,對數據的變化非常敏感。求解 local volatility 的適定算法可以由最優控制理論給出,這個我就不太懂瞭,薑禮尚:期權定價的數學模型和方法 一書的最後一章簡介瞭這種算法。

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